Use o Teste da Comparação por limite para verificar se as séries abaixo convergem ou não. Justifique.
sumn=1^+infty 8 n+raizn5+n+2+n^7 / 2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^inftyan, em que an=8n+raiz n5+n+2+n^7/2, usando o Teste da Comparação por Limite. O conteúdo é séries de termos positivos e vamos precisar reconhecer o termo dominante no numerador e no denominador e comparar com uma série p-geral.

Passo 2

Para aplicar o teste, observamos o comportamento de an quando ntoinfty. Note que
8n+raiz nsim 8n e 5+n+2+n^7/2=n^7/2+n+7sim n^7/2

Passo 3

Então ansim8nn^7/2=8n^5/2. Escolhemos a série de comparação
bn=1n^5/2,que é uma p-série com p=5/2>1, logo convergente.

Passo 4

Agora calculamos o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinfty8n+raiz nn^7/2+n+7;n^5/2

Passo 5

Desenvolvendo o limite temos
L=limntoinfty8n,n^5/2+raiz n,n^5/2n^7/2l(1+tfracn+7n^7/2r)=limntoinfty8n^7/2+n^3n^7/2l(1+o(1)r)=8

Passo 6

Como 0 e sum bn converge, pelo Teste da Comparação por Limite concluímos que sum an também converge.

Resposta

A série converge, pois comparando por limite com a p-série sum1/n^5/2 obtemos limite finito e não nulo e p=5/2>1.

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