Use o teste da comparação ou o teste da comparação no limite, para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries: \sum_{k=1}^{\infty} k \sin \left(\frac{1}{k}\right)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{k=1}^{\infty} k \sin\!\left(\frac{1}{k}\right)
converge ou diverge. A informação que temos é a expressão do termo geral:
a_k = k \sin\!\left(\frac{1}{k}\right),\qquad k=1,2,3,\dots
Não há outros dados numéricos; a tarefa é usar o teste da comparação ou o teste da comparação no limite para decidir convergência/divergência.
Passo 2
Vou usar o teste da comparação no limite. Lembrete do teste (em linguagem simples):
se a_k\ge 0 e b_k>0 para todos k suficientemente grandes e
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=L
com 0<L<\infty, então as séries \sum a_k e \sum b_k são ambas convergentes ou ambas divergentes. A ideia é escolher uma série simples \sum b_k cuja convergência já se conhece e comparar com \sum a_k.
Passo 3
Verificação de sinal (condição técnica do teste): para todo k\ge 1 temos \frac{1}{k}>0 e, portanto, \sin\!\left(\frac{1}{k}\right)>0. Logo
a_k = k \sin\!\left(\frac{1}{k}\right)>0
para todo k. Assim podemos aplicar o teste da comparação no limite com uma série de termos positivos.
Passo 4
Escolha da série para comparar: uma escolha natural e simples é
b_k = 1\qquad\text{para todo }k,
pois a série \sum_{k=1}^\infty b_k=\sum_{k=1}^\infty 1 é a série geométrica degenerada de termos constantes (soma de 1s) e é conhecida por divergir (os termos não tendem a zero e a soma parcial cresce sem limite).
Passo 5
Calcular o limite \displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}. Como b_k=1,
É um limite clássico que vale 1. Uma maneira rápida de ver isso é usar a desigualdade conhecida para x\in(0,\tfrac{\pi}{2}):
\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1,
e como \lim_{x\to 0^+}\cos x=1, pelo teorema do sandwich (princípio do confronto) segue que
\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Portanto
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=1.
Passo 6
Interpretação do limite e conclusão pelo teste da comparação no limite: obtivemos
\lim_{k\to\infty}\frac{a_k}{b_k}=1,
que é um número finito e estritamente positivo. Pelo teste da comparação no limite, as séries \sum a_k e \sum b_k têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem ou ambas divergem). Como já sabemos que \sum b_k=\sum 1 diverge, conclui-se que
\sum_{k=1}^{\infty} k \sin\!\left(\frac{1}{k}\right)