Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- A série dada é
. - Observação importante:
, então o termo para é , que é indefinido. Portanto a série faz sentido a partir de . Vou então considerar a série
- O que é pedido: usar o teste da razão ou o teste da raiz para decidir se essa série converge ou diverge.
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz (que é o método que escolhi) de forma didática.
- Enunciado do teste da raiz (forma prática): para uma série de termos reais
(aqui ), define-se
Então:
-
se
, a série converge absolutamente (logo converge); -
se
, a série diverge; -
se
, o teste é inconclusivo. -
Intuição simples:
mede, de certa forma, a “taxa geométrica” de decaimento de . Se essa taxa é menor que , os termos caem rápido o suficiente (comparável a uma série geométrica) e a série converge.
Passo 3
Escolha do teste: escolhi o teste da raiz porque o termo geral já tem a forma
, ou seja, o expoente é exatamente
. Isso torna o cálculo de
trivial. O teste da razão daria uma conta mais trabalhosa e menos direta aqui.
Agora aplico o teste da raiz ao termo
Calculo a
-ésima raiz de
:
Expliquei cada passo:
- tirar a
-ésima raiz de cancela o expoente , sobrando ; - isso é
.
Passo 4
Agora calculo o limite da sequência
quando
.
- Sabemos que
cresce sem limite quando (a função logarítmica diverge para ). Portanto
- Assim o valor
do teste da raiz é .
Passo 5
Interpretação do resultado do teste da raiz:
- Como
e , pelo teste da raiz a série converge absolutamente. - Como todos os termos são positivos, convergência absoluta é o mesmo que convergência simples neste caso: a série converge.
Pequeno exemplo para fixar a ideia:
- Se
, então e → converge (é geométrica). - Se
, então → teste da raiz dá e é inconclusivo (a série harmônica diverge, mas o teste da raiz não revela isso).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).