Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln (n))^{n}}

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • A série dada é \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{n}}.
  • Observação importante: \ln(1)=0, então o termo para n=1 é \dfrac{1}{0^1}, que é indefinido. Portanto a série faz sentido a partir de n=2. Vou então considerar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln(n))^{n}}.
  • O que é pedido: usar o teste da razão ou o teste da raiz para decidir se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz (que é o método que escolhi) de forma didática.
  • Enunciado do teste da raiz (forma prática): para uma série de termos reais a_n (aqui a_n>0), define-se
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}.
Então:
  • se L<1, a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição simples: \sqrt[n]{|a_n|} mede, de certa forma, a “taxa geométrica” de decaimento de a_n. Se essa taxa é menor que 1, os termos caem rápido o suficiente (comparável a uma série geométrica) e a série converge.

Passo 3

Escolha do teste: escolhi o teste da raiz porque o termo geral já tem a forma (\text{algo})^{-n}, ou seja, o expoente é exatamente n. Isso torna o cálculo de \sqrt[n]{a_n} trivial. O teste da razão daria uma conta mais trabalhosa e menos direta aqui.
Agora aplico o teste da raiz ao termo
a_n = \frac{1}{(\ln n)^{n}} = (\ln n)^{-n},\qquad n\ge2.
Calculo a n-ésima raiz de |a_n|:
\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{(\ln n)^{-n}} = (\ln n)^{-1} = \frac{1}{\ln n}.
Expliquei cada passo:
  • tirar a n-ésima raiz de (\ln n)^{-n} cancela o expoente n, sobrando (\ln n)^{-1};
  • isso é \dfrac{1}{\ln n}.

Passo 4

Agora calculo o limite da sequência \dfrac{1}{\ln n} quando n\to\infty.
  • Sabemos que \ln n cresce sem limite quando n\to\infty (a função logarítmica diverge para +\infty). Portanto
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\ln n} = 0.
  • Assim o valor L do teste da raiz é L=0.

Passo 5

Interpretação do resultado do teste da raiz:
  • Como L=0 e 0<1, pelo teste da raiz a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{(\ln n)^{n}} converge absolutamente.
  • Como todos os termos são positivos, convergência absoluta é o mesmo que convergência simples neste caso: a série converge.
Pequeno exemplo para fixar a ideia:
  • Se a_n=1/2^n, então \sqrt[n]{a_n}=1/2 e L=1/2<1 → converge (é geométrica).
  • Se a_n=1/n, então \sqrt[n]{a_n}\to1 → teste da raiz dá L=1 e é inconclusivo (a série harmônica diverge, mas o teste da raiz não revela isso).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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