Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n n!}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}\, n\, n!}{(2n)!}
e pede para determinar se ela converge ou diverge (usando o teste da razão ou da raiz).
Informações relevantes dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{3^{n}\, n\, n!}{(2n)!}.
  • Todos os a_n são não-negativos (portanto podemos tratar de convergência absoluta / direta).
    O que se pede: decidir convergência ou divergência da série.

Passo 2

Escolha do método. Entre o teste da razão e o teste da raiz, o teste da razão é mais direto quando aparecem fatoriais (porque há fórmulas simples como (n+1)!= (n+1)n!). Então vou aplicar o teste da razão (teste de d’Alembert). Lembrete do teste da razão:
  • Seja a_n uma sequência de termos não-negativos. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e L<1, então a série \sum a_n converge absolutamente. Se L>1, diverge. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o termo geral:
a_n=\frac{3^{n}\, n\, n!}{(2n)!}.

Passo 4

Calcular o termo seguinte a_{n+1}. Substituindo n\mapsto n+1:
a_{n+1}=\frac{3^{\,n+1}\, (n+1)\, (n+1)!}{(2n+2)!}.

Passo 5

Formar a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplificar passo a passo.
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\,3^{\,n+1}\, (n+1)\, (n+1)!/(2n+2)!}{\,3^{n}\, n\, n!/(2n)!}
Agora simplificar fatores:
  • 3^{\,n+1}/3^{n}=3.
  • (n+1)!/n!=(n+1).
  • (2n)!/(2n+2)! = \dfrac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
    Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\frac{(n+1)}{n}\cdot (n+1)\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Reagrupando:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\frac{(n+1)^2}{n}\cdot\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Observando que 2n+2=2(n+1), simplifica-se mais:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =3\cdot\frac{(n+1)^2}{n}\cdot\frac{1}{2(n+1)(2n+1)} =3\cdot\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2(2n+1)}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3(n+1)}{2n(2n+1)}.

Passo 6

Calcular o limite da razão quando n\to\infty. Para ver o comportamento assintótico, divida numerador e denominador por n:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{3\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{2\left(2+\dfrac{1}{n}\right)n}.
Mais direto: note que o numerador cresce como 3n e o denominador como 4n^2, então a razão é da ordem 3/(4n) e tende a zero. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)}{2n(2n+1)}=0.

Passo 7

Aplicando o teste da razão: como o limite L=0<1, a série converge absolutamente. Explicando em palavras: a razão entre termos sucessivos tende a zero, o que significa que os termos decrescem muito rápido (muito mais rápido do que uma progressão geométrica com razão <1), garantindo convergência absoluta.

Passo 8

Breve comentário pedagógico extras (para a prova): sempre que aparecerem fatoriais no numerador e/ou denominador, o teste da razão costuma ser a primeira tentativa porque permite cancelamentos simples com (n+1)! e (2n+2)!. O teste da raiz poderia ser usado em alguns casos, mas aqui exigiria lidar com \sqrt[n]{n!} e \sqrt[n]{(2n)!}, o que é mais trabalhoso sem usar estimativas (Stirling); por isso a razão é mais prática.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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