Use o teste da razão ou da raiz para determinar a convergência ou divergência das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede para determinar se ela converge ou diverge (usando o teste da razão ou da raiz).
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O termo geral da série é
. - Todos os
são não-negativos (portanto podemos tratar de convergência absoluta / direta).
O que se pede: decidir convergência ou divergência da série.
Passo 2
Escolha do método. Entre o teste da razão e o teste da raiz, o teste da razão é mais direto quando aparecem fatoriais (porque há fórmulas simples como
). Então vou aplicar o teste da razão (teste de d’Alembert). Lembrete do teste da razão:
- Seja
uma sequência de termos não-negativos. Se
existe e
, então a série
converge absolutamente. Se
, diverge. Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Escrevendo explicitamente o termo geral:
Passo 4
Calcular o termo seguinte
. Substituindo
:
Passo 5
Formar a razão
e simplificar passo a passo.
Agora simplificar fatores:
-
. -
. -
.
Portanto
Reagrupando:
Observando que
, simplifica-se mais:
Logo
Passo 6
Calcular o limite da razão quando
. Para ver o comportamento assintótico, divida numerador e denominador por
:
Mais direto: note que o numerador cresce como
e o denominador como
, então a razão é da ordem
e tende a zero. Formalmente,
Passo 7
Aplicando o teste da razão: como o limite
, a série converge absolutamente. Explicando em palavras: a razão entre termos sucessivos tende a zero, o que significa que os termos decrescem muito rápido (muito mais rápido do que uma progressão geométrica com razão <1), garantindo convergência absoluta.
Passo 8
Breve comentário pedagógico extras (para a prova): sempre que aparecerem fatoriais no numerador e/ou denominador, o teste da razão costuma ser a primeira tentativa porque permite cancelamentos simples com
e
. O teste da raiz poderia ser usado em alguns casos, mas aqui exigiria lidar com
e
, o que é mais trabalhoso sem usar estimativas (Stirling); por isso a razão é mais prática.
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge).