Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência de cada série.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\arctan (n)}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função que estende o termo geral da série atende às hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, decidir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\arctan(n)}{n^{2}+1}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{\arctan(n)}{n^{2}+1}.
  • A função natural a considerar para o Teste da Integral é a extensão para x\ge1:
f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}.
O que se pede: verificar as hipóteses do Teste da Integral (positividade, continuidade e monotonicidade decrescente de f em [1,\infty)) e, usando esse teste, decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Verificar que f(x) é positiva em [1,\infty).
Explicação didática: \arctan(x) é a função arco-tangente. Para x>0 tem-se \arctan(x)>0. O denominador x^{2}+1 é sempre positivo para todo x. Portanto, para x\ge1,
\arctan(x)>0,\qquad x^{2}+1>0,
logo
f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}>0.
Isto mostra positividade dos termos contínuos da função estendida.

Passo 3

Verificar que f(x) é contínua em [1,\infty).
Explicação didática: \arctan(x) é contínua em todo \mathbb{R} e x^{2}+1 é contínua e nunca nula. Assim a razão de duas funções contínuas com denominador não nulo é contínua. Logo f(x) é contínua em [1,\infty).

Passo 4

Verificar que f(x) é decrescente para x\ge1 (monotonicidade).
Vamos calcular a derivada f'(x) e mostrar que ela é negativa para x\ge1.
Cálculo da derivada (regra do quociente). Para f(x)=\dfrac{\arctan(x)}{x^{2}+1},
f'(x)=\frac{\dfrac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)\cdot (x^{2}+1)-\arctan(x)\cdot \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Sabendo \dfrac{d}{dx}\big(\arctan(x)\big)=\dfrac{1}{1+x^{2}} e \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}+1\big)=2x, obtemos
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{1+x^{2}}\,(x^{2}+1)-\arctan(x)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
No numerador o fator (x^{2}+1) cancela com o denominador de \dfrac{1}{1+x^{2}}, ficando
f'(x)=\frac{1-2x\,\arctan(x)}{(x^{2}+1)^{2}}.
Agora analisar o sinal de 1-2x\,\arctan(x) para x\ge1. Para x\ge1 vale \arctan(x)\ge\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Assim
2x\,\arctan(x)\ge 2\cdot 1\cdot \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}>1,
porque \dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708. Portanto 1-2x\,\arctan(x)<0 para todo x\ge1. Como (x^{2}+1)^{2}>0, segue que
f'(x)<0\quad\text{para todo }x\ge1.
Conclusão: f é estritamente decrescente em [1,\infty).

Passo 5

Aplicar o Teste da Integral (explicação do teste) e calcular a integral imprópria associada.
Breve aula sobre o Teste da Integral: o Teste da Integral diz que, se f:[1,\infty)\to\mathbb{R} é positiva, contínua e decrescente, então a série \sum_{n=1}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (é finita). Intuição: termos discretos f(n) comportam-se como a “área” sob a curva f(x); se a área total for finita, as somas dos retângulos também são controladas.
Aqui já verificamos positividade, continuidade e decrescimento, então podemos aplicar o teste.
Calculemos a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx.
Fazer a substituição u=\arctan(x). Então du=\dfrac{dx}{1+x^{2}}, ou seja dx/(1+x^{2})=du. Quando x=1 tem-se u=\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}. Quando x\to\infty tem-se u\to\arctan(\infty)=\dfrac{\pi}{2}. A integral transforma-se em
\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx=\int_{\pi/4}^{\pi/2} u\,du.
Esta é uma integral elementar:
\int_{\pi/4}^{\pi/2} u\,du=\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{u=\pi/4}^{u=\pi/2} =\frac{1}{2}\Big(\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}-\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^{2}\Big).
Calculemos o valor numérico exato passo a passo:
\big(\tfrac{\pi}{2}\big)^{2}=\frac{\pi^{2}}{4},\qquad \big(\tfrac{\pi}{4}\big)^{2}=\frac{\pi^{2}}{16},
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\frac{1}{2}\Big(\frac{\pi^{2}}{4}-\frac{\pi^{2}}{16}\Big) =\frac{1}{2}\cdot\frac{3\pi^{2}}{16} =\frac{3\pi^{2}}{32}.
Este é um número finito, portanto a integral imprópria converge.

Passo 6

Conclusão pelo Teste da Integral e comentário final.
Como f(x)=\dfrac{\arctan(x)}{x^{2}+1} é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral
\int_{1}^{\infty}\frac{\arctan(x)}{x^{2}+1}\,dx
converge (vale \dfrac{3\pi^{2}}{32}), o Teste da Integral garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\arctan(n)}{n^{2}+1}
converge.
Comentário útil para a prova: alternativamente pode-se usar um Teste da Comparação assintótico, pois \arctan(n)\to\dfrac{\pi}{2}, então para grandes n temos a_n\sim \dfrac{\pi/2}{n^{2}} e portanto a série se comporta como uma série p-com p=2, que é convergente. Mas como o enunciado pediu o Teste da Integral, o caminho com a substituição u=\arctan x é direto e elegante.

Resposta

A série converge (convergente).

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