Use o teste da divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty n sen(1 / n)

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da divergência (ou teste do termo geral) na série
sumn=1^infty n sinl(1/nr)
Lembre-se de que, se o termo geral an não tende a zero, ou seja, se
limntoinftyanneq0,
então a série diverge imediatamente.

Passo 2

Defina o termo geral
an=nsinl(1/nr)
Vamos calcular
limntoinftyan =limntoinftynsinl(1/nr)

Passo 3

Para x pequeno vale sin xsim x. Aqui x=1/nto0, logo
sinl(1/nr)sim 1n
Portanto
nsinl(1/nr)sim ncdot1n = 1,
isto é,
limntoinftynsinl(1/nr)=1neq0

Passo 4

Como limntoinftyan=1neq0, pelo teste da divergência a série diverge sem necessidade de qualquer outro teste.

Resposta

A série diverge pelo teste da divergência.

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