Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, juntamente com as propriedades de séries para determinar se a série é convergente ou divergente. No caso de convergência, determine a soma
sumn=1^infty(2^-n-2^-3 n)

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^inftyl(2^-n-2^-3nr)
e pede para determinar convergência e, se convergente, calcular sua soma. Vamos usar a linearidade de séries e a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Pela propriedade de soma de séries, temos
sumn=1^inftyl(2^-n-2^-3nr) =sumn=1^infty2^-n;-;sumn=1^infty2^-3n

Passo 3

Reconhecemos a primeira soma como série geométrica com termo geral (1/2)^n. A fórmula diz
sumn=1^inftyr^n=r1-r,para |r|<1
Aqui r=1/2, logo
sumn=1^infty2^-n =sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n =tfrac121-tfrac12 =1

Passo 4

A segunda soma é também geométrica com termo geral (1/8)^n. Aplicando a mesma fórmula com r=1/8, obtemos
sumn=1^infty2^-3n =sumn=1^inftyl(tfrac18r)^n =tfrac181-tfrac18 =1/87/8 =17

Passo 5

Subtraindo as duas somas, temos
sumn=1^inftyl(2^-n-2^-3nr) =1-17 =67
Como cada série geométrica converge, a série original converge e sua soma é tfrac67.

Resposta

A série converge e
sumn=1^inftyl(2^-n-2^-3nr) =67

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