Mostrar que f(x, y)=cc2 x yraiz2 x^2+2 y^2 & ,(x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0) é contínua na origem.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 2xyraiz2x^2+2y^2,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que f é contínua em (0,0). Isso equivale a provar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0
Vamos usar uma desigualdade que permita aplicar o teorema do confronto (squeeze).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), temos
lvert f(x,y)rvert = 2lvert x yrvertraiz2x^2+2y^2

Passo 3

Usamos a identidade
0<=(lvert xrvert-lvert yrvert)^2 =x^2+y^2-2lvert x yrvert ;Longrightarrow; 2lvert x yrvert<= x^2+y^2

Passo 4

Substituindo na expressão de lvert f(x,y)rvert, obtemos
lvert f(x,y)rvert <= x^2+y^2raiz2(x^2+y^2) = raiz(x^2+y^2)^2raiz2(x^2+y^2) = raizx^2+y^22

Passo 5

Como raizx^2+y^22to0 quando (x,y)to(0,0), pelo teorema do confronto segue que
lim(x,y)to(0,0)lvert f(x,y)rvert=0 Longrightarrow lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

A função f é contínua em (0,0) porque lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0=f(0,0).

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