Verifique a convergência das p-séries:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}
O conteúdo aqui é o teste da p-série, que diz: para \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
se p>1 a série converge e se p\le1 ela diverge.

Passo 2

Identificamos que p=\tfrac{1}{3}. Como \tfrac{1}{3}<1, pelo teste da p-série temos imediatamente que a série diverge, pois exige-se p>1 para convergência.

Passo 3

Para reforçar, podemos usar o teste da integral. Considere
\int_{1}^{\infty} x^{-\frac{1}{3}}\,dx.
Calculando,
\int_{1}^{\infty} x^{-\frac{1}{3}}\,dx = \left[\frac{3}{2}\,x^{\frac{2}{3}}\right]_{1}^{\infty} = \lim_{b\to\infty}\frac{3}{2}\bigl(b^{\tfrac{2}{3}}-1\bigr) = \infty,
logo a integral diverge e, por equivalência de comportamento, a série também diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{3}}}
diverge.

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