Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a convergência da série
usando o teste da integral. Informações dadas e elementos importantes: os termos da série são
, que são positivos; a soma é sobre
inteiro positivo começando em
. Não há outras perguntas — só precisamos decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Vou lembrar qual é o teste da integral (em linguagem direta e amigável): seja
uma função tal que
é positiva, contínua e monotonicamente decrescente para
. Se definirmos
, então
- se
converge (é finita), a série também converge; - se
diverge, a série também diverge.
Essa é a ideia: associar a soma discreta a uma área contínua e comparar convergência.
Passo 3
Preciso escolher uma função
tal que
. Uma escolha natural é
Agora verifico as condições do teste da integral:
- Continuidade:
é contínua para todo . - Positividade:
para todo . - Monotonicidade: calcule a derivada para ver se é decrescente:
Como
, temos
para todo
. Logo
é decrescente para
.
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas para .
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas para
Passo 4
Calculo a integral imprópria
Faço primeiro a integral definida até um limite
:
A primitiva de
é
(porque ao derivar
multiplica por
, voltando a
). Assim
Agora tomo o limite
. Como
quando
, o primeiro termo tende a
. Logo
Esse valor é finito (é um número positivo), então a integral imprópria converge.
Passo 5
Aplicando o teste da integral: como a função
é positiva, contínua e decrescente para
e a integral
converge (vale
), concluímos pelo teste da integral que a série
converge.
Passo 6
Comentário extra útil (pra você se animar): essa série é também uma série geométrica de razão
com
, então ela converge e sua soma exata é
Mas a exigência da questão era usar o teste da integral, e é isso que acabamos de fazer passo a passo.
Resposta
A série converge.