Use o teste da integral para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-5 n}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n},
usando o teste da integral. Informações dadas e elementos importantes: os termos da série são a_n = e^{-5n}, que são positivos; a soma é sobre n inteiro positivo começando em 1. Não há outras perguntas — só precisamos decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Vou lembrar qual é o teste da integral (em linguagem direta e amigável): seja f:(1,\infty)\to\mathbb{R} uma função tal que f(x) é positiva, contínua e monotonicamente decrescente para x\ge 1. Se definirmos a_n=f(n), então
  • se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita), a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n também converge;
  • se \displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx diverge, a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n também diverge.
    Essa é a ideia: associar a soma discreta a uma área contínua e comparar convergência.

Passo 3

Preciso escolher uma função f(x) tal que f(n)=a_n. Uma escolha natural é
f(x)=e^{-5x}.
Agora verifico as condições do teste da integral:
  • Continuidade: f(x)=e^{-5x} é contínua para todo x.
  • Positividade: e^{-5x}>0 para todo x.
  • Monotonicidade: calcule a derivada para ver se é decrescente:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{-5x}=-5e^{-5x}.
Como e^{-5x}>0, temos f'(x)=-5e^{-5x}<0 para todo x. Logo f é decrescente para x\ge1.
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas para f.

Passo 4

Calculo a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx.
Faço primeiro a integral definida até um limite b>1:
\int_{1}^{b} e^{-5x}\,dx.
A primitiva de e^{-5x} é -\tfrac{1}{5}e^{-5x} (porque ao derivar -\tfrac{1}{5}e^{-5x} multiplica por -5, voltando a e^{-5x}). Assim
\int_{1}^{b} e^{-5x}\,dx = \left[-\tfrac{1}{5}e^{-5x}\right]_{x=1}^{x=b} = -\tfrac{1}{5}e^{-5b} -\bigl(-\tfrac{1}{5}e^{-5}\bigr) = -\tfrac{1}{5}e^{-5b} + \tfrac{1}{5}e^{-5}.
Agora tomo o limite b\to\infty. Como e^{-5b}\to 0 quando b\to\infty, o primeiro termo tende a 0. Logo
\int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left(-\tfrac{1}{5}e^{-5b} + \tfrac{1}{5}e^{-5}\right) = \tfrac{1}{5}e^{-5}.
Esse valor é finito (é um número positivo), então a integral imprópria converge.

Passo 5

Aplicando o teste da integral: como a função f(x)=e^{-5x} é positiva, contínua e decrescente para x\ge1 e a integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} e^{-5x}\,dx converge (vale \tfrac{1}{5}e^{-5}), concluímos pelo teste da integral que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} converge.

Passo 6

Comentário extra útil (pra você se animar): essa série é também uma série geométrica de razão r=e^{-5} com |r|<1, então ela converge e sua soma exata é
\sum_{n=1}^{\infty} e^{-5n} = \frac{e^{-5}}{1-e^{-5}}.
Mas a exigência da questão era usar o teste da integral, e é isso que acabamos de fazer passo a passo.

Resposta

A série converge.

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