Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
usando o teste da raiz. Informações fornecidas e o que precisamos esclarecer:
- A sequência geral dos termos é
para . - Queremos saber se a soma infinita dos
converge ou diverge. - Não há mais condições extras; vamos aplicar o teste pedido diretamente.
Passo 2
Explicando o teste da raiz (passo-a-passo, sem pular etapas):
- Dado uma série
(com reais ou complexos), definimos
- O teste da raiz diz:
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
- Se
- Aqui
significa . O é o limite superior; mas se a sequência tiver limite comum, esse é apenas esse limite.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz aos termos dados: calcule
.
- Como
e estes termos são não-negativos, temos
- Usando a propriedade de potências
quando , obtemos
Passo 4
Agora calcule o limite (ou
) de
quando
:
- Isso é claro: dividir
por apenas escala, e cresce sem limite, logo o quociente também cresce sem limite. - Em particular, esse valor é maior que
(na verdade tende a ), portanto o parâmetro do teste da raiz satisfaz .
Passo 5
Concluindo pelo teste da raiz:
- Como o valor
, a regra do teste da raiz nos diz que a série diverge. - Uma observação intuitiva adicional (útil na prova): para
temos , então para esses o termo cresce exponencialmente e não tende a zero. Como um requisito necessário para convergência da série é que , já por esse motivo a série não pode convergir. (Essa é uma forma alternativa — e simples — de ver a divergência.)
Resposta
A série
diverge.