Use o teste da raiz para determinar a convergência da série.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n}{100}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{n}{100}\right)^{n}
usando o teste da raiz. Informações fornecidas e o que precisamos esclarecer:
  • A sequência geral dos termos é a_n=\left(\dfrac{n}{100}\right)^{n} para n=1,2,\dots.
  • Queremos saber se a soma infinita dos a_n converge ou diverge.
  • Não há mais condições extras; vamos aplicar o teste pedido diretamente.

Passo 2

Explicando o teste da raiz (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Dado uma série \sum a_n (com a_n reais ou complexos), definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • O teste da raiz diz:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa |a_n|^{1/n}. O \limsup é o limite superior; mas se a sequência \sqrt[n]{|a_n|} tiver limite comum, esse \limsup é apenas esse limite.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz aos termos dados: calcule \sqrt[n]{|a_n|}.
  • Como a_n=\left(\dfrac{n}{100}\right)^{n} e estes termos são não-negativos, temos
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{100}\right)^{n}}.
  • Usando a propriedade de potências \left(x^{n}\right)^{1/n}=x quando x\ge 0, obtemos
\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{n}{100}.

Passo 4

Agora calcule o limite (ou \limsup) de \dfrac{n}{100} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{100}=+\infty.
  • Isso é claro: dividir n por 100 apenas escala, e n cresce sem limite, logo o quociente também cresce sem limite.
  • Em particular, esse valor é maior que 1 (na verdade tende a +\infty), portanto o parâmetro L do teste da raiz satisfaz L>1.

Passo 5

Concluindo pelo teste da raiz:
  • Como o valor L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{100}=+\infty>1, a regra do teste da raiz nos diz que a série diverge.
  • Uma observação intuitiva adicional (útil na prova): para n\ge 101 temos \dfrac{n}{100}\ge \dfrac{101}{100}=1{,}01>1, então para esses n o termo a_n=\left(\dfrac{n}{100}\right)^n cresce exponencialmente e não tende a zero. Como um requisito necessário para convergência da série é que a_n\to 0, já por esse motivo a série não pode convergir. (Essa é uma forma alternativa — e simples — de ver a divergência.)

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{100}\right)^{n} diverge.

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