Use o teste da integral para determinar se a séria dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste da integral. A série é:
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar o teste da integral, que envolve integrar a função correspondente e analisar o resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. A função é:
Precisamos verificar se essa função é positiva e decrescente para valores grandes de $ n $.
Passo 3
Verdade, para aplicar o teste da integral, a função $ f(n) $ deve ser positiva e decrescente quando $ n $ é grande. Vamos ver:
- Positiva: Para $ n \geq 2 $, o denominador $ n^{2}-2 $ é positivo, então $ f(n) $ é positiva.
- Decrescente: Calculando a derivada de $ f(n) $:
Como $ f’(n) < 0 $ para $ n \geq 2 $, a função é decrescente.
Passo 4
Agora que confirmamos que $ f(n) $ é positiva e decrescente, podemos aplicar o teste da integral. Vamos integrar a função de 1 até o infinito:
Passo 5
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = n^{2} - 2 $, então $ du = 2n , dn $, ou seja, $ \frac{du}{2} = n , dn $.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar o limite dessa integral quando $ n $ vai para o infinito:
O termo $ \ln(b^{2}-2) $ cresce sem limite conforme $ b $ aumenta, o que significa que a integral diverge para o infinito.
Resposta
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge.