Use o teste da integral para determinar se a séria dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty nn^2-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que precisa descobrir se ela converge ou diverge usando o teste da integral. A série é:
sumn=1^infty nn^2-2
Para resolver isso, vamos precisar saber como aplicar o teste da integral, que envolve integrar a função correspondente e analisar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que corresponde aos termos da série. A função é:
f(n) = nn^2-2
Precisamos verificar se essa função é positiva e decrescente para valores grandes de $ n $.

Passo 3

Verdade, para aplicar o teste da integral, a função $ f(n) $ deve ser positiva e decrescente quando $ n $ é grande. Vamos ver:
  • Positiva: Para $ n \geq 2 $, o denominador $ n^{2}-2 $ é positivo, então $ f(n) $ é positiva.
  • Decrescente: Calculando a derivada de $ f(n) $:
f(n)
Como $ f’(n) < 0 $ para $ n \geq 2 $, a função é decrescente.

Passo 4

Agora que confirmamos que $ f(n) $ é positiva e decrescente, podemos aplicar o teste da integral. Vamos integrar a função de 1 até o infinito:
f(n)

Passo 5

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja $ u = n^{2} - 2 $, então $ du = 2n , dn $, ou seja, $ \frac{du}{2} = n , dn $.
Substituindo na integral:
u = n^2 - 2

Passo 6

Agora, precisamos avaliar o limite dessa integral quando $ n $ vai para o infinito:
n
O termo $ \ln(b^{2}-2) $ cresce sem limite conforme $ b $ aumenta, o que significa que a integral diverge para o infinito.

Resposta

Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
sumn=1^infty nn^2-2
também diverge.

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