Escreva os cinco primeiros elementos da sequência de somas parciais sn e, se possível/viável, obtenha uma fórmula para sn em termos de n. Determine também se a série é convergente ou divergente, se for convergente, encontre sua soma:
sumn=1^infty 2^n-13^n

Passo 1

Resumo: temos a série sumn=1^infty2^n-13^n. O que precisamos é: os cinco primeiros valores de sn, uma fórmula de sn em função de n, verificar convergência e, se convergente, achar a soma.

Passo 2

Vamos olhar o termo geral da série: an=2^n-13^n Note que podemos reescrever como an=2^n2,3^n=12l(23r)^n Ou seja, é uma série geométrica com primeiro termo a1=1/3 e razão r=2/3.

Passo 3

Agora calculamos as cinco primeiras somas parciais diretamente:
s1=13,
s2=13+29=59,
s3=59+427=1927,
s4=1927+881=6581,
s5=6581+16243=211243

Passo 4

Para achar a fórmula geral de sn, usamos a soma de uma PG finita:
sn= a11-r^n1-r
Aqui a1=1/3 e r=2/3, logo
sn=131-(2/3)^n1-2/3=1-l(23r)^n

Passo 5

Como |r|=2/3<1, a série converge. A soma é o limite de sn quando ntoinfty, ou seja
limntoinftysn=limntoinftyl(1-l(tfrac23r)^nr)=1

Resposta

Os cinco primeiros valores são s1=tfrac13, s2=tfrac59, s3=tfrac1927, s4=tfrac6581, s5=tfrac211243. A fórmula geral é sn=1-l(tfrac23r)^n. A série converge e sua soma é 1.

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