Use o teste da integral para determinar se a séria dada é convergente ou divergente.
(e) sumn=1^infty e^-n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty e^-n. O conteúdo é o Teste da Integral: vamos associar à função f(x)=e^-x definida para x>=1 e verificar se integral1^infty f(x),dx converge.

Passo 2

Precisamos checar que f(x)=e^-x é contínua, positiva e decrescente em [1,infty). Como a exponencial é sempre positiva e sua derivada f'(x)=-e^-x<0, essas condições estão atendidas.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria:

Passo 4

Como integral1^infty e^-xdx = e^-1, pelo Teste da Integral a série converge. Opcionalmente, nota-se que é também série geométrica de razão r=e^-1<1, cuja soma é

Resposta

A série sumn=1^infty e^-n é convergente pelo Teste da Integral.

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