(Vale 6,0) Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty k sen^2(k)1+k^3, (Teste da comparação);

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série infinita usando o Teste da Comparação. A série que temos é:
sumk=1^infty k cdot sin^2(k)1 + k^3
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra mais simples para determinar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
k cdot sin^2(k)1 + k^3
Sabemos que sin^2(k) sempre fica entre 0 e 1, já que o seno de qualquer número é entre -1 e 1. Então, sin^2(k) <= 1. Isso significa que:
k cdot sin^2(k)1 + k^3 <= k1 + k^3

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão k1 + k^3. Para valores grandes de k, o termo k^3 domina o 1 no denominador, então podemos aproximar:
k1 + k^3 approx kk^3 = 1k^2
Então, temos:
k cdot sin^2(k)1 + k^3 <= 1k^2

Passo 4

Agora, vamos comparar com a série conhecida:
sumk=1^infty 1k^2
Essa série é uma série p, onde p = 2. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Então, a série sum 1k^2 converge.

Passo 5

Como mostramos que:
k cdot sin^2(k)1 + k^3 <= 1k^2
e a série sum 1k^2 converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumk=1^infty k cdot sin^2(k)1 + k^3 converge pelo Teste da Comparação.

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