(Vale 6,0) Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
, (Teste da comparação);
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa série infinita usando o Teste da Comparação. A série que temos é:
Vamos precisar entender como comparar essa série com outra mais simples para determinar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da série:
Sabemos que
sempre fica entre 0 e 1, já que o seno de qualquer número é entre -1 e 1. Então,
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão
. Para valores grandes de
, o termo
domina o 1 no denominador, então podemos aproximar:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos comparar com a série conhecida:
Essa série é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Então, a série
converge.
Passo 5
Como mostramos que:
e a série
converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste da Comparação.