Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
é convergente ou divergente. As informações dadas explicitamente são:
  • O termo geral da série é a_n = n e^{-n} para n=1,2,3,\dots.
  • Foi indicado o método a ser usado: o teste da integral.

Passo 2

Vou lembrar o que diz o teste da integral (em palavras simples e com todas as condições explicadas).
  • Teorema (teste da integral): se existe uma função f:(1,\infty)\to(0,\infty) que é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para x\ge 1 e tal que f(n)=a_n para todo inteiro n\ge1, então a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge (isto é, tem valor finito).
Explicação dos termos:
  • “Contínua” significa que f não tem saltos ou assimptotas finitas no intervalo considerado.
  • “Positiva” significa f(x)>0 para x\ge1.
  • “Monotonicamente decrescente” significa f'(x)\le0 para x\ge1 (ou, mais diretamente, que f(x_1)\ge f(x_2) sempre que x_1\le x_2 com x_1,x_2\ge1).
    Essas condições garantem que a soma discreta e a integral contínua têm o mesmo comportamento de convergência.
Agora selecionamos a função contínua que corresponde ao termo geral:
f(x)=x e^{-x},\qquad x\ge1,
pois f(n)=n e^{-n}=a_n.
Verificações das condições do teste:
  • Positividade: para x\ge1 temos x>0 e e^{-x}>0, logo f(x)>0.
  • Continuidade: f é produto de funções contínuas ( x e e^{-x}), logo é contínua em [1,\infty).
  • Monotonicidade: calculemos a derivada para ver se é decrescente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x e^{-x}\big)=e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x).
Para x>1 temos 1-x<0 e e^{-x}>0, então f'(x)<0. Assim f é decrescente em (1,\infty). Em x=1 a derivada é zero, mas isso não impede a aplicabilidade do teste (precisa apenas ser decrescente a partir de algum ponto, aqui a partir de 1).
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas para f(x)=x e^{-x}.

Passo 3

Aplicamos o teste calculando a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo usando integração por partes. Regra de integração por partes: para funções u(x) e v'(x),
\int u\,v' = u v - \int u' v.
Escolha natural aqui: u=x (pois simplifica ao derivar) e v'=e^{-x} (pois é fácil integrar).
  • Então u=x implica u'=1.
  • E v' = e^{-x} implica v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Usando a fórmula:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int u' v\,dx = -x e^{-x} - \int 1\cdot(-e^{-x})\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Calcule a integral remanescente:
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -\big(x+1\big)e^{-x} + C.
Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \int_{1}^{b} x e^{-x}\,dx = \lim_{b\to\infty} \Big[-\big(x+1\big)e^{-x}\Big]_{x=1}^{x=b}.
Calcule a expressão:
\Big[-\big(x+1\big)e^{-x}\Big]_{1}^{b} = -\big(b+1\big)e^{-b} -\big[-(1+1)e^{-1}\big] = -\big(b+1\big)e^{-b} + 2 e^{-1}.
Agora o limite quando b\to\infty:
  • Observação simples: para b\to\infty, \big(b+1\big)e^{-b}\to 0 porque a exponencial decai muito mais rápido que b cresce (pode justificar com regra de l’Hôpital ou conhecimento padrão).
    Logo
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx = 0 + 2 e^{-1} = \frac{2}{e},
que é um número finito.

Passo 4

Como a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x e^{-x}\,dx
converge (vale \dfrac{2}{e}), e as hipóteses do teste da integral foram verificadas (função positiva, contínua e decrescente com f(n)=a_n), concluímos pelo teste da integral que a série
\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n}
converge.
Um comentário prático e final: se quiser uma intuição rápida, n e^{-n} decai exponencialmente (o fator e^{-n} domina), então os termos vão a zero rápido o suficiente para tornar a soma finita.

Resposta

A série converge.

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