Use o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral para determinar se a série
é convergente ou divergente. As informações dadas explicitamente são:
- O termo geral da série é
para . - Foi indicado o método a ser usado: o teste da integral.
Passo 2
Vou lembrar o que diz o teste da integral (em palavras simples e com todas as condições explicadas).
- Teorema (teste da integral): se existe uma função
que é contínua, positiva e monotonicamente decrescente para e tal que para todo inteiro , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (isto é, tem valor finito).
Explicação dos termos:
Explicação dos termos:
- “Contínua” significa que
não tem saltos ou assimptotas finitas no intervalo considerado. - “Positiva” significa
para . - “Monotonicamente decrescente” significa
para (ou, mais diretamente, que sempre que com ).
Essas condições garantem que a soma discreta e a integral contínua têm o mesmo comportamento de convergência.
Agora selecionamos a função contínua que corresponde ao termo geral:
pois
.
Verificações das condições do teste:
- Positividade: para
temos e , logo . - Continuidade:
é produto de funções contínuas ( e ), logo é contínua em . - Monotonicidade: calculemos a derivada para ver se é decrescente:
Para
temos
e
, então
. Assim
é decrescente em
. Em
a derivada é zero, mas isso não impede a aplicabilidade do teste (precisa apenas ser decrescente a partir de algum ponto, aqui a partir de
).
Portanto todas as hipóteses do teste da integral estão satisfeitas para
.
Passo 3
Aplicamos o teste calculando a integral imprópria
Vamos calcular essa integral passo a passo usando integração por partes. Regra de integração por partes: para funções
e
,
Escolha natural aqui:
(pois simplifica ao derivar) e
(pois é fácil integrar).
- Então
implica . - E
implica .
Usando a fórmula:
Calcule a integral remanescente:
Então
Agora avaliamos a integral imprópria como limite:
Calcule a expressão:
Agora o limite quando
:
- Observação simples: para
, porque a exponencial decai muito mais rápido que cresce (pode justificar com regra de l’Hôpital ou conhecimento padrão).
Logo
que é um número finito.
Passo 4
Como a integral imprópria
converge (vale
), e as hipóteses do teste da integral foram verificadas (função positiva, contínua e decrescente com
), concluímos pelo teste da integral que a série
converge.
Um comentário prático e final: se quiser uma intuição rápida,
decai exponencialmente (o fator
domina), então os termos vão a zero rápido o suficiente para tornar a soma finita.
Resposta
A série converge.