Para quais valores de “p” a série
converge?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos disponível.
- O enunciado pergunta: “Para quais valores de
a série converge?” - Informação dada: aparece o símbolo
multiplicando . O enunciado não diz se depende de ou se é uma constante. Vou tratar explicitamente as possibilidades úteis: - Caso A:
é uma constante (real ou complexa) independente de . - Caso B:
. - Caso C:
depende de (isto é, ). Neste último caso não há informação suficiente para responder sem especificar a sequência .
- Caso A:
- O objetivo do problema, então, é determinar para quais valores de
a série converge nas situações acima (principalmente a mais provável: constante).
Passo 2
Redução quando
é constante (caso mais comum).
- Se
é constante e independe de , posso fatorá‑lo fora da soma:
- Assim, a convergência da série original é equivalente à convergência da série
(chamada série-p ou série de Riemann), salvo o caso que é trivial.
Passo 3
Condição necessária: termos tendendo a zero.
- Uma condição necessária para uma série
convergir é que quando . - No nosso caso
. Se então isso reduz a verificar o limite de . - Calcular
: - Se
então . - Se
então e o limite é (logo a série diverge). - Se
então (logo os termos não vão a zero e a série diverge).
- Se
- Conclusão parcial: para qualquer
a série só pode convergir se . Mas isso não garante convergência — é só necessário.
Passo 4
Uso do Teste da Integral (para decidir convergência da série-p).
- Vamos estudar a série
para . Aplicamos o Teste da Integral: se é positiva, contínua e decrescente para , então e convergem ou divergem juntos. - Tome
. Para temos e
logo
é decrescente e o teste pode ser aplicado.
Passo 5
Cálculo da integral
e conclusão pelo teste.
- Calcule a integral conforme o valor de
.
Caso
:
ou seja, diverge.
Caso
:
- Se
(ou seja, ) então e a integral diverge. - Se
(ou seja, ) então e a integral converge; de fato
- Pelo Teste da Integral, a série
converge se e somente se ; ela diverge para .
Passo 6
Interpretação final para a série com o fator
.
- Se
é constante e , então a série converge exatamente nas mesmas condições da série , isto é, para . (Multiplicar por uma constante não nula não altera a convergência.) - Se
então a série é identicamente zero e converge para qualquer . - Se
depende de (isto é, a sequência dos termos não é simplesmente com constante), então é necessário conhecer para decidir — não dá para concluir apenas com a informação dada.
Resposta
Se
é constante e
: a série converge se, e somente se,
.
Se : a série converge para todo
.
Se depende de
: não é possível determinar a convergência sem mais informação sobre
.
Se
Se