Para quais valores de “p” a série \sum_{n=1}^{\infty} j / n^{p}\ converge?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que temos disponível.
  • O enunciado pergunta: “Para quais valores de p a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{j}{n^{p}} converge?”
  • Informação dada: aparece o símbolo j multiplicando n^{-p}. O enunciado não diz se j depende de n ou se é uma constante. Vou tratar explicitamente as possibilidades úteis:
    • Caso A: j é uma constante (real ou complexa) independente de n.
    • Caso B: j=0.
    • Caso C: j depende de n (isto é, j=j(n)). Neste último caso não há informação suficiente para responder sem especificar a sequência j(n).
  • O objetivo do problema, então, é determinar para quais valores de p a série converge nas situações acima (principalmente a mais provável: j constante).

Passo 2

Redução quando j é constante (caso mais comum).
  • Se j é constante e independe de n, posso fatorá‑lo fora da soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{j}{n^{p}} = j\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
  • Assim, a convergência da série original é equivalente à convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} (chamada série-p ou série de Riemann), salvo o caso j=0 que é trivial.

Passo 3

Condição necessária: termos tendendo a zero.
  • Uma condição necessária para uma série \sum a_n convergir é que a_n \to 0 quando n\to\infty.
  • No nosso caso a_n = j n^{-p}. Se j\neq 0 então isso reduz a verificar o limite de n^{-p}.
  • Calcular \lim_{n\to\infty} n^{-p}:
    • Se p>0 então \lim_{n\to\infty} n^{-p} = 0.
    • Se p=0 então n^{-p}=1 e o limite é 1\neq 0 (logo a série diverge).
    • Se p<0 então n^{-p}\to\infty (logo os termos não vão a zero e a série diverge).
  • Conclusão parcial: para qualquer j\neq 0 a série só pode convergir se p>0. Mas isso não garante convergência — é só necessário.

Passo 4

Uso do Teste da Integral (para decidir convergência da série-p).
  • Vamos estudar a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} para p>0. Aplicamos o Teste da Integral: se f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge1, então \sum_{n=1}^{\infty} f(n) e \int_{1}^{\infty} f(x)\,dx convergem ou divergem juntos.
  • Tome f(x)=x^{-p}. Para p>0 temos f(x)>0 e
f'(x) = -p x^{-p-1} < 0,
logo f é decrescente e o teste pode ser aplicado.

Passo 5

Cálculo da integral \displaystyle\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx e conclusão pelo teste.
  • Calcule a integral conforme o valor de p.
Caso p=1:
\int_{1}^{\infty} x^{-1}\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{T\to\infty} \ln T - \ln 1 = \infty,
ou seja, diverge.
Caso p\neq 1:
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{T\to\infty}\int_{1}^{T} x^{-p}\,dx = \lim_{T\to\infty}\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{T} = \lim_{T\to\infty}\frac{T^{1-p}-1}{1-p}.
  • Se 1-p>0 (ou seja, p<1) então T^{1-p}\to\infty e a integral diverge.
  • Se 1-p<0 (ou seja, p>1) então T^{1-p}\to 0 e a integral converge; de fato
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \frac{1}{p-1}\quad\text{quando }p>1.
  • Pelo Teste da Integral, a série \sum_{n=1}^{\infty} n^{-p} converge se e somente se p>1; ela diverge para p\le 1.

Passo 6

Interpretação final para a série com o fator j.
  • Se j é constante e j\neq 0, então a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{j}{n^{p}} converge exatamente nas mesmas condições da série \sum n^{-p}, isto é, para p>1. (Multiplicar por uma constante não nula não altera a convergência.)
  • Se j=0 então a série é identicamente zero e converge para qualquer p.
  • Se j depende de n (isto é, a sequência dos termos não é simplesmente j\cdot n^{-p} com j constante), então é necessário conhecer j(n) para decidir — não dá para concluir apenas com a informação dada.

Resposta

Se j é constante e j\neq 0: a série converge se, e somente se, p>1.
Se j=0: a série converge para todo p.
Se j depende de n: não é possível determinar a convergência sem mais informação sobre j(n).

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