y^prime prime=6 t: y(0)=3, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem
y''=6t,
com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=-1. O conteúdo aqui é integrar duas vezes para obter y(t).

Passo 2

Para encontrar y'(t), integramos y''=6t. Integração direta de 6t em relação a t gera uma constante de integração C1:
y'(t)=integral6t,dt=3t^2+C1

Passo 3

Usamos a condição inicial y'(0)=-1 para achar C1. Substituindo t=0 em y'(t):
y'(0)=3cdot0^2+C1=C1=-1
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y'(t)=3t^2-1

Passo 4

Agora integramos y'(t)=3t^2-1 para obter y(t), introduzindo a constante C2:
y(t)=integral(3t^2-1),dt=t^3-t+C2

Passo 5

Aplicamos a condição y(0)=3. Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=0^3-0+C2=C2=3
Portanto a solução geral que satisfaz as condições iniciais é
y(t)=t^3-t+3

Resposta

y(t)=t^3-t+3

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