Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes:
“
2 x″(t) − 2 x′(t) − 4 x(t) = 2 e^{2t}
”.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2º ordem e precisaremos: achar a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois obter uma solução particular para o termo forçado.
“
2 x″(t) − 2 x′(t) − 4 x(t) = 2 e^{2t}
”.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2º ordem e precisaremos: achar a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois obter uma solução particular para o termo forçado.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
Dividindo tudo por 2:
As raízes são
isto é,
e
.
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Como o termo não homogêneo é
e
já é raiz simples da característica, usamos o palpite
Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Isso deve igualar
, então
Logo,
Passo 4
Reunindo tudo, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular: