2 x^prime prime(t)-2 x^prime(t)-4 x(t)=2 e^2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes:

2 x″(t) − 2 x′(t) − 4 x(t) = 2 e^{2t}
”.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2º ordem e precisaremos: achar a solução geral da parte homogênea (usando a equação característica) e depois obter uma solução particular para o termo forçado.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
A equação característica é
2r^2 - 2r - 4 = 0
Dividindo tudo por 2:
r^2 - r - 2 = 0
As raízes são
r = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32,
isto é, r1 = 2 e r2 = -1.
Portanto a solução homogênea é
xh(t) = C1 e^2t + C2 e^-t

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular xp(t). Como o termo não homogêneo é 2e^2t e r=2 já é raiz simples da característica, usamos o palpite
xp(t) = A t e^2t
Calculemos as derivadas:
xp'(t) = A e^2t(2t + 1),
xp''(t) = A e^2t(4t + 4)
Substituindo na equação:
2xp'' - 2xp' - 4xp = A e^2tigl[2(4t+4) - 2(2t+1) - 4tigr] = 6A e^2t
Isso deve igualar 2e^2t, então
6A = 2 implies A = tfrac13
Logo,
xp(t) = tfrac13 ,t e^2t

Passo 4

Reunindo tudo, a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:

Resposta

x(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + 13,t e^2t

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