use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=2^+infty nn^2-2

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
sumn=2^infty nn^2-2
ou seja, definimos a função
f(x)=xx^2-2,
para x>=2, e vamos verificar se
integral2^inftyf(x),dx
converge ou diverge. Se essa integral divergir, a série também diverge.

Passo 2

Primeiro, garantimos que f(x) é positiva e decrescente em [2,infty).
  1. Para x>=2 temos x^2-2>0, logo f(x)>0.
  2. Calculamos a derivada:
f'(x) =(x^2-2)cdot1 - xcdot2x(x^2-2)^2 =x^2-2-2x^2(x^2-2)^2 =-x^2-2(x^2-2)^2<0
para todo x>=2. Assim, f é decrescente.

Passo 3

Agora avaliamos a integral imprópria:
integral2^inftyxx^2-2,dx
Fazemos a substituição u=x^2-2, de modo que du=2x,dx. Então
integralxx^2-2,dx =12integralduu =12lnl|ur|+C =12lnl(x^2-2r)+C
Logo,
integral2^Rxx^2-2,dx =12l[ln(R^2-2)-ln(2^2-2)r] =12ln(R^2-2)-12ln(2)
Quando Rtoinfty, ln(R^2-2)toinfty, então a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral2^inftyf(x),dx
é divergente e f é positiva e decrescente, a série
sumn=2^inftynn^2-2
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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