use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
ou seja, definimos a função
para
, e vamos verificar se
converge ou diverge. Se essa integral divergir, a série também diverge.
Passo 2
Primeiro, garantimos que
é positiva e decrescente em
.
- Para
temos , logo . - Calculamos a derivada:
para todo
. Assim,
é decrescente.
Passo 3
Agora avaliamos a integral imprópria:
Fazemos a substituição
, de modo que
. Então
Logo,
Quando
Rtoinfty ,
ln(R^2-2)toinfty , então a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
é divergente e
f é positiva e decrescente, a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.