Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
D=(x, y) in R^2: x^3 <= y <= x e a densidade é constante e igual a 1 .
Calcule o centro de massa da região.

Passo 1

O enunciado pede a massa m e o centro de massa (bar x,bar y) de uma lâmina de densidade constante rho=1 ocupando a região
D=(x,y)inR^2:x^3<= y<= x
Para isso usamos as fórmulas
m=integral duplaD1,dA, My=integral duplaDx,dA, Mx=integral duplaDy,dA,
e então
bar x=Mym, bar y=Mxm
Precisamos determinar os limites de integração: a desigualdade x^3<= x vale em [0,1], que é o intervalo que gera a região fechada e limitada que queremos.

Passo 2

Para a massa
m=integralx=0^1integraly=x^3^x1,dy,dx
Fazendo a integral em y vem y|y=x^3^y=x=x-x^3, logo
m=integral0^1(x-x^3),dx =l[tfrac12x^2-tfrac14x^4r]0^1 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14

Passo 3

Para o momento My em relação ao eixo y,
My=integral0^1integralx^3^xx,dy,dx =integral0^1x,(x-x^3),dx =integral0^1(x^2-x^4),dx =l[tfrac13x^3-tfrac15x^5r]0^1 =tfrac13-tfrac15 =tfrac215
Logo
bar x=Mym =tfrac215tfrac14 =215cdot4 =815

Passo 4

Para o momento Mx em relação ao eixo x,
Mx=integral0^1integralx^3^xy,dy,dx =integral0^1l[tfrac12y^2r]y=x^3^y=xdx =integral0^1tfrac12l(x^2-x^6r),dx =tfrac12l[tfrac13x^3-tfrac17x^7r]0^1 =tfrac12cdot421 =tfrac221
Assim
bar y=Mxm =tfrac221tfrac14 =221cdot4 =821

Resposta

A massa da lâmina é
m=tfrac14
e o centro de massa é
(bar x,bar y)=l(tfrac815,,tfrac821r)

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