Utilize o teste da comparação para determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}-1}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação em séries de termos positivos para
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}-1}.
O que precisamos:
  1. Mostrar que os termos são positivos (a partir de n\ge2).
  2. Encontrar uma série mais simples \sum b_n que seja divergente e tal que
0 < a_n = \frac{1}{\sqrt{n}-1} \ge b_n.
  1. Saber que a série p
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}
é convergente só se p>1 e diverge para p\le1.

Passo 2

Para n\ge2 temos \sqrt{n}-1\le\sqrt{n}. Então
\frac{1}{\sqrt{n}-1}\;\ge\;\frac{1}{\sqrt{n}} \;=\; n^{-\tfrac12}.
Como \sum n^{-\tfrac12} é uma série p com p=\tfrac12\le1, ela diverge. Logo, pelo teste da comparação,
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}-1}
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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