Exercício 9. Determine se as séries são convergentes ou divergentes. Se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{2^{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, devo também encontrar a sua soma. Informações dadas: a fórmula do termo geral é \frac{2}{2^{n}} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos manipular o termo geral para enxergá-lo melhor. Faço álgebra com potências de 2:
\frac{2}{2^{n}} = 2^{1-n}.
Outra forma equivalente, que é muito útil para comparar com séries geométricas, é escrever como potência de \tfrac{1}{2}:
2^{1-n} = 2^{-(n-1)} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
Logo cada termo da série pode ser escrito como \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}.

Passo 3

Agora uma explicação didática sobre séries geométricas (para você poder aplicar na prova): uma série geométrica é uma série cujos termos têm a forma
a,\; ar,\; ar^{2},\; ar^{3},\dots
ou, em notação de somatório,
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1},
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Dois pontos importantes:
  1. Critério de convergência: a série geométrica converge se, e só se, |r|<1. Se |r|\ge 1, ela diverge.
  2. Soma quando converge: se |r|<1, a soma da série geométrica é
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1} = \frac{a}{1-r}.
Vou mostrar rapidamente de onde vem essa fórmula (truque clássico com somas parciais). Seja
S_N=\sum_{n=1}^{N} a\,r^{\,n-1}=a+ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N-1}.
Multiplicando por r e subtraindo:
rS_N = ar+ar^{2}+\cdots+ar^{N},
S_N - rS_N = a - ar^{N},
S_N(1-r) = a(1-r^{N}),
portanto
S_N = \frac{a(1-r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1, então r^{N}\to 0 quando N\to\infty, e assim
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.
Isso é tudo o que precisamos usar.

Passo 4

Volto ao nosso caso. Reescrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}.
Comparando com a forma a\,r^{\,n-1}, identificamos:
a=1\qquad\text{e}\qquad r=\tfrac{1}{2}.
Verificamos o critério de convergência: |r|=\left|\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}<1, então a série é convergente.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma para a série geométrica com a=1 e r=\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-1}=\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{\tfrac{1}{2}}=2.
Portanto a série converge e sua soma é 2.

Resposta

A série é convergente e sua soma é 2.

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