Encontre a série infinita com a sequencia de somas parciais dada, determine se a serie converge ou diverge, se convergir encontre sua soma
Passo 1
O enunciado fornece a sequência de somas parciais
para a série
para achar o termo geral, depois testar convergência e calcular a soma.
Passo 2
Calculamos o primeiro termo:
Em seguida, para
$$a_n = s_n - s_{n-1} = \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n-2}}\Bigr)
= -\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}}
= \frac{1}{2^{n-1}}.$$
Passo 3
Portanto o termo geral da série é
o que equivale a escrever
$$\sum_{k=1}^\infty a_k = 0 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}.
$$
Passo 4
Reconhecemos que
é uma série geométrica de razão
com
, logo converge.
Passo 5
A soma da geométrica é
$$\sum_{j=1}^\infty \Bigl(\tfrac12\Bigr)^j = \frac{\tfrac12}{1 - \tfrac12} = 1.
$$
Como a parte inicial é zero, a série completa converge para 1.
Como a parte inicial é zero, a série completa converge para 1.
Resposta
A série resultante é
que converge (razão