Encontre a série infinita com a sequencia de somas parciais dada, determine se a serie converge ou diverge, se convergir encontre sua soma
sn=1-12^n-1

Passo 1

O enunciado fornece a sequência de somas parciais
sn = 1 - 12^n-1
para a série sumk=1^infty ak. O conteúdo é “soma de série pelo estudo das somas parciais” e vamos precisar usar a relação
a1 = s1, an = sn - sn-1
para achar o termo geral, depois testar convergência e calcular a soma.

Passo 2

Calculamos o primeiro termo:
a1 = s1 = 1 - 12^1-1 = 1 - 1 = 0
Em seguida, para n>=2 usamos
$$a_n = s_n - s_{n-1} = \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{1}{2^{n-2}}\Bigr)
= -\frac{1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^{n-2}}
= \frac{1}{2^{n-1}}.$$

Passo 3

Portanto o termo geral da série é
a1 = 0, an = 12^n-1(n>=2),
o que equivale a escrever
$$\sum_{k=1}^\infty a_k = 0 + \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^{n-1}} = \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{2^j}.
$$

Passo 4

Reconhecemos que sumj=1^infty 12^j é uma série geométrica de razão r=tfrac12 com |r|<1, logo converge.

Passo 5

A soma da geométrica é
$$\sum_{j=1}^\infty \Bigl(\tfrac12\Bigr)^j = \frac{\tfrac12}{1 - \tfrac12} = 1.
$$
Como a parte inicial é zero, a série completa converge para 1.

Resposta

A série resultante é
sumk=1^infty ak, a1=0,;an=tfrac12^n-1;(n>=2),
que converge (razão tfrac12) e tem soma igual a 1.

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