Use o teste da integral para mostrar que sumn=1^infty e^-n^2 converge.

Passo 1

A série que a gente quer estudar é sumn=1^infty e^-n^2. O enunciado pede para usar o teste da integral, que diz: se existe uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,infty) tal que f(n)=an, então sum an converge se, e somente se, integral1^inftyf(x),dx convergir.

Passo 2

Definimos f(x)=e^-x^2. Vamos verificar as hipóteses do teste da integral em [1,infty):
– É contínua e positiva porque a exponencial nunca zera e não tem descontinuidade.
– Derivando, temos
f'(x)=ddxe^-x^2=-2x,e^-x^2
Para x>=1, f'(x)<0, ou seja, f é decrescente.

Passo 3

Agora avaliamos a integral imprópria
integral1^inftye^-x^2,dx
Para mostrar que ela converge, fazemos uma comparação útil: para x>=1, temos e^-x^2<= x,e^-x^2. Então
integral1^inftye^-x^2,dx;<=;integral1^inftyx,e^-x^2,dx

Passo 4

Mas integral1^inftyx,e^-x^2,dx é fácil de calcular por substituição u=x^2:
integral1^inftyx,e^-x^2,dx=[-tfrac12e^-x^2]1^infty=0-l(-tfrac12e^-1r)=tfrac12e^-1

Passo 5

Como a integral de e^-x^2 até o infinito fica abaixo de um número finito, concluímos que integral1^inftye^-x^2,dx converge. Pelo teste da integral, a série sumn=1^inftye^-n^2 também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-n^2 converge pelo teste da integral.

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