Use o teste da integral para mostrar que
converge.
Passo 1
A série que a gente quer estudar é
. O enunciado pede para usar o teste da integral, que diz: se existe uma função
contínua, positiva e decrescente em
tal que
, então
converge se, e somente se,
convergir.
Passo 2
Definimos
. Vamos verificar as hipóteses do teste da integral em
:
– É contínua e positiva porque a exponencial nunca zera e não tem descontinuidade.
– Derivando, temos
– É contínua e positiva porque a exponencial nunca zera e não tem descontinuidade.
– Derivando, temos
Para
Passo 3
Agora avaliamos a integral imprópria
Para mostrar que ela converge, fazemos uma comparação útil: para
Passo 4
Mas
é fácil de calcular por substituição
:
Passo 5
Como a integral de
até o infinito fica abaixo de um número finito, concluímos que
converge. Pelo teste da integral, a série
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da integral.