Use o teste do limite para estudar a convergência das séries
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
. Vamos usar o teste da raiz n-ésima, que em Português às vezes chamam de “teste do limite”.
Passo 2
O teste da raiz estabelece que, dado
, definimos
Se
, a série
converge absolutamente; se
, diverge; e se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso
. Calculamos
pois
n^1/n>=1 para todo
n .
Passo 4
Precisamos então avaliar
Como conhecemos o fato de que
limntoinftyn^1/n=1 , obtemos
Portanto,
L=0 .
Passo 5
Como
L=0<1 , o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo a série
sumn=1^infty(raiz[n]n-1)^n é convergente.
Resposta
A série converge absolutamente.