Use o teste do limite para estudar a convergência das séries
sumn=1^infty(raiz[n]n-1)^n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty(raiz[n]n-1)^n. Vamos usar o teste da raiz n-ésima, que em Português às vezes chamam de “teste do limite”.

Passo 2

O teste da raiz estabelece que, dado an, definimos
L = limntoinfty raiz[n]|an|
Se L<1, a série sum an converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso an = (raiz[n]n-1)^n. Calculamos
raiz[n]|an| = l|raiz[n]n-1r| = n^1/n - 1,
pois n^1/n>=1 para todo n.

Passo 4

Precisamos então avaliar
limntoinftyl(n^1/n-1r)
Como conhecemos o fato de que limntoinftyn^1/n=1, obtemos
limntoinfty(n^1/n-1)=1-1=0
Portanto, L=0.

Passo 5

Como L=0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente. Logo a série sumn=1^infty(raiz[n]n-1)^n é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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