Use o teste da raiz para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}\right)^{n}
O que se pede: usar o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge.
Informações úteis que temos do enunciado:
  • O termo geral é a_{n}=\left(\dfrac{n^{2}}{7 n^{2}+3}\right)^{n}.
  • Para todo n\ge 1 temos n^{2}>0 e 7n^{2}+3>0, logo a_{n}>0. Isso significa que não precisamos nos preocupar com sinais (valores absolutos) ao aplicar o teste da raiz.

Passo 2

Vou te explicar o teste da raiz de forma clara e bem prática. Seja uma série com termos a_{n}. Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
O teste da raiz diz:
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo, converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo (não diz nada).
    Aqui \sqrt[n]{|a_{n}|} é a raiz n-ésima do valor absoluto de a_{n}. Na prática, muitas vezes o limite existe (não só o limsup) e basta calcular \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso termo a_{n}=\left(\dfrac{n^{2}}{7 n^{2}+3}\right)^{n}. Primeiro calculamos a raiz n-ésima de a_{n}. Como o termo está elevado a n, temos
\sqrt[n]{a_{n}}=\sqrt[n]{\left(\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}\right)^{n}}=\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}.
Observação didática: em geral \sqrt[n]{(b_n)^{n}} = |b_n|. Aqui b_n=\dfrac{n^{2}}{7 n^{2}+3}>0, então não precisamos do valor absoluto.

Passo 4

Agora calculamos o limite quando n\to\infty da expressão obtida. Dividimos numerador e denominador por n^{2} para visualizar o limite:
\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}=\frac{1}{7+\dfrac{3}{n^{2}}}.
Como \dfrac{3}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, concluímos
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{7 n^{2}+3}=\frac{1}{7}.

Passo 5

Portanto o valor L do teste da raiz é
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}}=\frac{1}{7}.
Como \dfrac{1}{7}<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como já notamos antes os termos são positivos, então a série converge.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que você ver uma série do tipo \sum (b_n)^n com b_n>0 e b_n\to b, o teste da raiz te dá imediatamente L=b. Se b<1 a série converge; se b>1 diverge. Isso salva tempo!

Resposta

Converge absolutamente.

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