Use o teste da raiz para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado dá a série
O que se pede: usar o teste da raiz para determinar se a série converge ou diverge.
Informações úteis que temos do enunciado:
Informações úteis que temos do enunciado:
- O termo geral é
. - Para todo
temos e , logo . Isso significa que não precisamos nos preocupar com sinais (valores absolutos) ao aplicar o teste da raiz.
Passo 2
Vou te explicar o teste da raiz de forma clara e bem prática. Seja uma série com termos
. Definimos
O teste da raiz diz:
- Se
, a série converge absolutamente (logo, converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo (não diz nada).
Aquié a raiz -ésima do valor absoluto de . Na prática, muitas vezes o limite existe (não só o limsup) e basta calcular .
Passo 3
Aplicando isso ao nosso termo
. Primeiro calculamos a raiz
-ésima de
. Como o termo está elevado a
, temos
Observação didática: em geral
. Aqui
, então não precisamos do valor absoluto.
Passo 4
Agora calculamos o limite quando
da expressão obtida. Dividimos numerador e denominador por
para visualizar o limite:
Como
quando
, concluímos
Passo 5
Portanto o valor
do teste da raiz é
Como
, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Como já notamos antes os termos são positivos, então a série converge.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre que você ver uma série do tipo
com
e
, o teste da raiz te dá imediatamente
. Se
a série converge; se
diverge. Isso salva tempo!
Resposta
Converge absolutamente.