Use o teste da razão para determinar a convergência ou não das seguintes séries: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{7^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{7^{n}}
e pede para usarmos o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{7^{n}}.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
O que precisa ser decidido: a convergência (e, se possível, o tipo — absoluta ou condicional).
Passo 2
O que é o teste da razão (enunciado e interpretação)? Vou explicar devagar e sem mistério.
O teste da razão diz: para uma série com termos a_{n} (podem ser complexos ou reais), calcule
Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
Se L>1 ou L=\infty, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que a série formada pelos módulos \sum |a_n| converge. Isso é útil porque se \sum |a_n| converge, então a própria \sum a_n converge independentemente dos sinais.
Passo 3
Identifico o termo geral e o módulo do termo para aplicar o teste:
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1, segue que
L=\frac{1}{7}.
Observação: usei que \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to0.
Passo 6
Interpretação do resultado do teste:
L=\frac{1}{7}<1.
Pelo teste da razão, a série \sum a_n converge absolutamente. Como converge absolutamente, também converge (a convergência absoluta é mais forte que a simples convergência).
Passo 7
Comentário intuitivo curto (para fixar): o fator 7^{n} no denominador cresce geometricamente e derrota o crescimento linear de n. Por isso n/7^{n} tende a zero rápido o suficiente para a soma convergir. O sinal alternado (-1)^n nem precisa entrar no teste, porque o teste da razão tratou do módulo.
Resposta
A série converge absolutamente, portanto converge.