Use o teste da razão para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{7^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n}{7^{n}}
e pede para usarmos o teste da razão para determinar se a série converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{7^{n}}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
  • O que precisa ser decidido: a convergência (e, se possível, o tipo — absoluta ou condicional).

Passo 2

O que é o teste da razão (enunciado e interpretação)? Vou explicar devagar e sem mistério.
O teste da razão diz: para uma série com termos a_{n} (podem ser complexos ou reais), calcule
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1 ou L=\infty, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
“Converge absolutamente” significa que a série formada pelos módulos \sum |a_n| converge. Isso é útil porque se \sum |a_n| converge, então a própria \sum a_n converge independentemente dos sinais.

Passo 3

Identifico o termo geral e o módulo do termo para aplicar o teste:
a_{n}=(-1)^{n}\frac{n}{7^{n}}, \qquad |a_{n}|=\frac{n}{7^{n}}.
Para o teste da razão trabalhamos com |a_{n}|, pois o teste usa o quociente de módulos.

Passo 4

Calculo a razão entre termos consecutivos em módulo:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{\dfrac{n+1}{7^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{7^{\,n}}} = \frac{n+1}{7^{\,n+1}}\cdot\frac{7^{\,n}}{n} = \frac{n+1}{7n}.
Aqui simplifiquei 7^{n}/7^{n+1}=1/7 e reorganizei os fatores.

Passo 5

Agora calculo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{7n} = \frac{1}{7}\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1, segue que
L=\frac{1}{7}.
Observação: usei que \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n} e \dfrac{1}{n}\to0.

Passo 6

Interpretação do resultado do teste:
L=\frac{1}{7}<1.
Pelo teste da razão, a série \sum a_n converge absolutamente. Como converge absolutamente, também converge (a convergência absoluta é mais forte que a simples convergência).

Passo 7

Comentário intuitivo curto (para fixar): o fator 7^{n} no denominador cresce geometricamente e derrota o crescimento linear de n. Por isso n/7^{n} tende a zero rápido o suficiente para a soma convergir. O sinal alternado (-1)^n nem precisa entrar no teste, porque o teste da razão tratou do módulo.

Resposta

A série converge absolutamente, portanto converge.

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