Use o teste da razão para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{(n+1) 3^{2 n+1}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{(n+1)\,3^{2n+1}}
converge ou diverge.
Informações dadas e coisa a identificar:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{5^{n}}{(n+1)\,3^{2n+1}} para n\ge1.
  • A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, indicar convergência absoluta ou condicional.)
    Não há outras condições ou figuras; a decisão deve ser feita a partir do termo geral acima.

Passo 2

Vou usar o teste da razão. Primeiro, o que é esse teste e por que funciona (explicação didática):
  • Considere uma série com termo geral a_n (assumimos a_n\neq0 para n grande). Definimos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Regras do teste da razão:
    • Se L<1, a série converge absolutamente (ou seja, \sum |a_n| converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Intuição simples: se |a_{n+1}|/|a_n| tende para um número menor que 1, os termos diminuem geometricamente como uma progressão geométrica com razão menor que 1, então a série se comporta como uma série geométrica convergente.
Agora aplicamos o teste ao nosso a_n.

Passo 3

Escrevo explicitamente a_{n+1} substituindo n por n+1:
a_{n+1}=\frac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2(n+1)+1}}.
Explico a parte do expoente: 2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3, então
a_{n+1}=\frac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2n+3}}.

Passo 4

Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifico passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2n+3}}}{\dfrac{5^{n}}{(n+1)\,3^{2n+1}}}.
Dividir frações é multiplicar pelo inverso, então
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2n+3}}\cdot\frac{(n+1)\,3^{2n+1}}{5^{n}}.
Agora cancelei potências e factores de forma clara:
  • 5^{\,n+1}/5^n=5.
  • 3^{2n+1}/3^{2n+3}=1/3^{2}=1/9 porque 3^{2n+3}=3^{2n+1}\cdot3^2.
  • Fica também o fator (n+1)/(n+2).
    Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} =5\cdot\frac{n+1}{n+2}\cdot\frac{1}{9} =\frac{5}{9}\cdot\frac{n+1}{n+2}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{5}{9}\cdot\frac{n+1}{n+2}.
O fator \dfrac{5}{9} é constante; \dfrac{n+1}{n+2} tende para 1 quando n\to\infty porque numerador e denominador têm o mesmo grau e os coeficientes principais são iguais. Logo
L=\frac{5}{9}\cdot 1=\frac{5}{9}.

Passo 6

Interpretação do resultado pelo teste da razão:
  • Encontramos L=\dfrac{5}{9}.
  • Como \dfrac{5}{9}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência (sem condição).

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pois L=\dfrac{5}{9}<1.

Exercícios relacionados