Use o teste da razão para determinar a convergência ou não das seguintes séries: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{(n+1) 3^{2 n+1}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^{n}}{(n+1)\,3^{2n+1}}
converge ou diverge.
Informações dadas e coisa a identificar:
O termo geral da série é a_n=\dfrac{5^{n}}{(n+1)\,3^{2n+1}} para n\ge1.
A pergunta é: a série converge ou diverge? (Se possível, indicar convergência absoluta ou condicional.)
Não há outras condições ou figuras; a decisão deve ser feita a partir do termo geral acima.
Passo 2
Vou usar o teste da razão. Primeiro, o que é esse teste e por que funciona (explicação didática):
Considere uma série com termo geral a_n (assumimos a_n\neq0 para n grande). Definimos
Se L<1, a série converge absolutamente (ou seja, \sum |a_n| converge).
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição simples: se |a_{n+1}|/|a_n| tende para um número menor que 1, os termos diminuem geometricamente como uma progressão geométrica com razão menor que 1, então a série se comporta como uma série geométrica convergente.
Agora aplicamos o teste ao nosso a_n.
Passo 3
Escrevo explicitamente a_{n+1} substituindo n por n+1:
a_{n+1}=\frac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2(n+1)+1}}.
Explico a parte do expoente: 2(n+1)+1=2n+2+1=2n+3, então
a_{n+1}=\frac{5^{\,n+1}}{(n+2)\,3^{2n+3}}.
Passo 4
Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n} e simplifico passo a passo:
O fator \dfrac{5}{9} é constante; \dfrac{n+1}{n+2} tende para 1 quando n\to\infty porque numerador e denominador têm o mesmo grau e os coeficientes principais são iguais. Logo
L=\frac{5}{9}\cdot 1=\frac{5}{9}.
Passo 6
Interpretação do resultado pelo teste da razão:
Encontramos L=\dfrac{5}{9}.
Como \dfrac{5}{9}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Convergência absoluta implica convergência (sem condição).
Resposta
A série converge absolutamente (logo converge), pois L=\dfrac{5}{9}<1.