Use o teste da raiz para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-n}{n+3}\right)^{5 n}

Passo 1

O enunciado pede que eu use o teste da raiz para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{-n}{n+3}\right)^{5 n}
converge ou não. Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\left(\frac{-n}{n+3}\right)^{5 n}.

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz de forma clara: seja uma série com termo geral a_n. Definimos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}.
As conclusões do teste da raiz são:
  • se L<1, a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo (não diz nada e precisamos de outro argumento).
Aqui \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert} significa a raiz enésima do valor absoluto do termo geral; o \limsup é usado para cobrir casos em que o limite não exista, mas se o limite existir podemos trocá-lo pelo \lim.

Passo 3

Calculo \sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}. Primeiro o valor absoluto do termo:
\lvert a_n\rvert=\left(\frac{n}{n+3}\right)^{5n}.
Agora a raiz enésima:
\sqrt[n]{\lvert a_n\rvert}=\sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+3}\right)^{5n}}=\left(\frac{n}{n+3}\right)^{5}.
Logo o L do teste é
L=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+3}\right)^{5}.

Passo 4

Calculo o limite interior:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+3/n}=1,
portanto
L=1^{5}=1.
Como L=1, o teste da raiz é inconclusivo — ele não permite decidir a convergência. Então preciso usar outro argumento para concluir.

Passo 5

Observo o comportamento do próprio módulo do termo geral:
\lvert a_n\rvert=\left(\frac{n}{n+3}\right)^{5n}=\left(1+\frac{3}{n}\right)^{-5n}.
Usando o limite clássico \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}=e^{x} com x=3, obtemos
\lim_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{-5n}=e^{-15}.
Como e^{-15} é um número positivo (não zero), isso mostra que \lvert a_n\rvert não tende a zero; consequentemente a_n também não tende a zero. Uma série só pode convergir se o seu termo geral tende a zero. Portanto, pela contrapartida desse teste (teste do termo geral / critério da divergência), a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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