Use o teste da raiz para determinar a convergência ou não das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede que eu use o teste da raiz para determinar se a série
converge ou não. Informação dada: o termo geral da série é
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz de forma clara: seja uma série com termo geral
. Definimos
As conclusões do teste da raiz são:
- se
, a série converge absolutamente (logo converge); - se
, a série diverge; - se
, o teste é inconclusivo (não diz nada e precisamos de outro argumento).
Aqui
significa a raiz enésima do valor absoluto do termo geral; o
é usado para cobrir casos em que o limite não exista, mas se o limite existir podemos trocá-lo pelo
.
Passo 3
Calculo
. Primeiro o valor absoluto do termo:
Agora a raiz enésima:
Logo o
do teste é
Passo 4
Calculo o limite interior:
portanto
Como
, o teste da raiz é inconclusivo — ele não permite decidir a convergência. Então preciso usar outro argumento para concluir.
Passo 5
Observo o comportamento do próprio módulo do termo geral:
Usando o limite clássico
com
, obtemos
Como
é um número positivo (não zero), isso mostra que
não tende a zero; consequentemente
também não tende a zero. Uma série só pode convergir se o seu termo geral tende a zero. Portanto, pela contrapartida desse teste (teste do termo geral / critério da divergência), a série diverge.
Resposta
A série diverge.