Essa expressão deve ser igual a -1+32i. Igualando parte real e parte imaginária obtemos o sistema
\begin{cases} ac - t^{2} = -1,\\[4pt] t(a+c) = 32. \end{cases}]
Passo 6
Da Passo 4 sabemos que a+c=8. Substituindo na equação imaginária t(a+c)=32 temos
t\cdot 8 = 32.
Logo
t=4.
Então as partes imaginárias são iguais a 4: b=d=4.
Passo 7
Agora substituímos t=4\) na equação real \(ac - t^{2} = -1\):
\[ac - 4^{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad ac -16 = -1 \quad\Rightarrow\quad ac = 15.
Temos então o sistema para a e c:
\begin{cases} a+c=8,\\[4pt] ac=15. \end{cases}
Uma forma padrão de resolver é ver que a\] e \(c são raízes do polinômio
x^{2}-(a+c)x+ac=x^{2}-8x+15.
Resolvendo x^{2}-8x+15=0, fatoramos
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5)=0,
portanto as raízes são x=3 e x=5. Assim (a,c) é o par (5,3) ou (3,5).]
Passo 8
Reunindo tudo: b=d=4 e (a,c)=(5,3) ou (3,5). Isso dá as duas soluções possíveis para os pares (Z_{1},Z_{2}):
Z_{1}=5+4i,\\ Z_{2}=3+4i
ou
Z_{1}=3+4i,\\ Z_{2}=5+4i.
Ambas satisfazem as três condições: diferença real, soma com parte real 8 e produto -1+32i. Se for preciso fixar uma ordem (como no enunciado-resposta que apareceu), a escolha Z_{1}=5+4i e Z_{2}=3+4i é uma das soluções válidas.
Resposta
Z_{1}=5+4i,\\ Z_{2}=3+4i
ou Z_{1}=3+4i,\\ Z_{2}=5+4i