Determinar os números complexos Z_{1} e Z_{2}, sabendo que \left\{\begin{array}{l}Z_{1}-Z_{2} \text { éreal } \\\ \operatorname{Re}\left(Z_{1}+Z_{2}\right)=8 \quad R: Z_{1}=5+4 i \text { e } Z_{2}=3+4 i \\\ Z_{1} \cdot Z_{2}=-1+32 i\end{array}\right.é

Passo 1

O que o problema pede: Determinar os números complexos [Z_{1}) e Z_{2} sabendo as três condições abaixo.
Informações dadas:
\begin{cases} Z_{1}-Z_{2}\\ \text{é real},\\[4pt] \operatorname{Re}\!\left(Z_{1}+Z_{2}\right)=8,\\[4pt] Z_{1}\cdot Z_{2}=-1+32i. \end{cases}é
Observação: os incógnitos são os números complexos Z_{1}\] e \(Z_{2}. Nada mais será assumido além do que está escrito acima.]

Passo 2

Vamos representar os números complexos com componentes reais e imaginárias para trabalhar de forma clara. Seja
Z_{1}=a+bi,\qquad Z_{2}=c+di,
onde a,b,c,d são números reais. Aqui a=\operatorname{Re}(Z_{1}), b=\operatorname{Im}(Z_{1}), c=\operatorname{Re}(Z_{2}) e d=\operatorname{Im}(Z_{2}).

Passo 3

Usamos a primeira condição: Z_{1}-Z_{2} é real. Subtraindo as formas a+bi e c+di obtemos
Z_{1}-Z_{2}=(a-c)+i(b-d).
Para que esse número seja real, a parte imaginária deve ser zero, ou seja
b-d=0.
Portanto
b=d.
Vou chamar esse valor comum de t, isto é b=d=t. Isso significa que as partes imaginárias de Z_{1} e Z_{2} são iguais.

Passo 4

Usamos a segunda condição: \operatorname{Re}\!\left(Z_{1}+Z_{2}\right)=8. Somando Z_{1} e Z_{2} nas notações:
Z_{1}+Z_{2}=(a+c)+i(b+d).
A parte real é a+c, então a condição dá
a+c=8.

Passo 5

Agora a terceira condição: o produto
Z_{1}\cdot Z_{2}=(a+it)(c+it).
Vamos multiplicar explicitamente: usando (x+iy)(u+iv)=xu-yv + i(xv+yu), temos
Z_{1}\cdot Z_{2}=ac - t^{2} + i\big(t(a+c)\big).
Essa expressão deve ser igual a -1+32i. Igualando parte real e parte imaginária obtemos o sistema
\begin{cases} ac - t^{2} = -1,\\[4pt] t(a+c) = 32. \end{cases}]

Passo 6

Da Passo 4 sabemos que a+c=8. Substituindo na equação imaginária t(a+c)=32 temos
t\cdot 8 = 32.
Logo
t=4.
Então as partes imaginárias são iguais a 4: b=d=4.

Passo 7

Agora substituímos t=4\) na equação real \(ac - t^{2} = -1\): \[ac - 4^{2} = -1 \quad\Rightarrow\quad ac -16 = -1 \quad\Rightarrow\quad ac = 15.
Temos então o sistema para a e c:
\begin{cases} a+c=8,\\[4pt] ac=15. \end{cases}
Uma forma padrão de resolver é ver que a\] e \(c são raízes do polinômio
x^{2}-(a+c)x+ac=x^{2}-8x+15.
Resolvendo x^{2}-8x+15=0, fatoramos
x^{2}-8x+15=(x-3)(x-5)=0,
portanto as raízes são x=3 e x=5. Assim (a,c) é o par (5,3) ou (3,5).]

Passo 8

Reunindo tudo: b=d=4 e (a,c)=(5,3) ou (3,5). Isso dá as duas soluções possíveis para os pares (Z_{1},Z_{2}):
Z_{1}=5+4i,\\ Z_{2}=3+4i
ou
Z_{1}=3+4i,\\ Z_{2}=5+4i.
Ambas satisfazem as três condições: diferença real, soma com parte real 8 e produto -1+32i. Se for preciso fixar uma ordem (como no enunciado-resposta que apareceu), a escolha Z_{1}=5+4i e Z_{2}=3+4i é uma das soluções válidas.

Resposta

Z_{1}=5+4i,\\ Z_{2}=3+4i
ou
Z_{1}=3+4i,\\ Z_{2}=5+4i

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