Use o teste da raiz para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{100}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da raiz na série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{k}{100}\right)^{k}.
Lembrando que o teste da raiz diz que, se
L = \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\bigl|a_k\bigr|},
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1. Aqui temos a_k=\bigl(\tfrac{k}{100}\bigr)^k.

Passo 2

Calculamos a k-ésima raiz do termo geral:
\sqrt[k]{\bigl|a_k\bigr|} = \sqrt[k]{\biggl(\frac{k}{100}\biggr)^{k}} = \frac{k}{100}.

Passo 3

Tomando o limite quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}\frac{k}{100} = +\infty > 1.
Como L>1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois o limite da k-ésima raiz dos termos é +\infty>1.

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