Use o teste da raiz para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, aponte isso.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3 k+2}{2 k-1}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{3k+2}{2k-1}\right)^{k}
usando o teste da raiz. O conteúdo principal aqui é o teste da raiz, que exige calcular \displaystyle L = \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}
e comparar L com 1 para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Chamando
a_k = \left(\frac{3k+2}{2k-1}\right)^{k},
o teste da raiz diz que devemos calcular \sqrt[k]{a_k} e então
L = \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}.
Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calculamos a k-ésima raiz de a_k:
\sqrt[k]{a_k} = \sqrt[k]{\left(\frac{3k+2}{2k-1}\right)^{k}} = \frac{3k+2}{2k-1}.
Agora encontramos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac{3k+2}{2k-1} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Como L = \tfrac{3}{2} > 1, o teste da raiz garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da raiz, pois
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\left(\frac{3k+2}{2k-1}\right)^{k}} = \frac{3}{2} > 1.

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