Use teorema da divergência. Verifique \iint_{\sigma} \vec{F} \vec{n} d S=\iiint_{B} \operatorname{div} \vec{F} d x d y d z, \vec{n} normal que aponta para fora de B.
\vec{F}(x, y, z)=x i+y j+z k e B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq 1-x-y\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} através da superfície fechada \sigma que limita o sólido
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x\ge0,\;y\ge0,\;0\le z\le1-x-y\},
usando o Teorema da Divergência, que afirma
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{B}\operatorname{div}\vec{F}\,dV,
onde \vec{n} é a normal externa a B.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\operatorname{div}\vec{F} =\frac{\partial x}{\partial x} +\frac{\partial y}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial z} =1+1+1=3.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\sigma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{B}3\,dV =3\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y}dz\,dy\,dx.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
\int_{0}^{1-x-y}dz =1-x-y.
Então
3\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx.
Agora integramos em y:
\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy =\bigl[(1-x)y-\tfrac12y^2\bigr]_{0}^{1-x} =(1-x)^2-\tfrac12(1-x)^2 =\tfrac12(1-x)^2.
Portanto resta
3\int_{0}^{1}\tfrac12(1-x)^2\,dx =\tfrac32\int_{0}^{1}(1-x)^2\,dx =\tfrac32\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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