1. Use o teste da razão para determinar se a série é convergente, divergente ou se o teste é inconclusivo.
d) \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{10}+1!}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da razão para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{10}+1!}{n!}
é convergente, divergente ou se o teste da razão é inconclusivo. Informação dada relevante:
  • A série tem termos gerais \dfrac{n^{10}+1!}{n!}.
  • Lembrar que 1!=1.

Passo 2

Vamos definir o termo geral para trabalhar com mais clareza:
a_n=\frac{n^{10}+1!}{n!}=\frac{n^{10}+1}{n!}.
Também precisamos do termo seguinte:
a_{n+1}=\frac{(n+1)^{10}+1}{(n+1)!}.

Passo 3

Explicando o teste da razão (a tal “aula rápida”):
  • O teste da razão considera o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Interpretação das possibilidades:
    • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente (portanto converge).
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
  • Aqui os termos a_n são positivos para todo n, então podemos omitir o valor absoluto sem problemas: \left|a_{n+1}/a_n\right|=a_{n+1}/a_n.

Passo 4

Calcular a razão a_{n+1}/a_n explicitamente e simplificar passo a passo:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^{10}+1}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{10}+1}{n!}} = \frac{(n+1)^{10}+1}{(n^{10}+1)}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Como (n+1)!=(n+1)\,n!, tem-se
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{10}+1}{n^{10}+1}\cdot\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Agora vamos avaliar o limite L:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^{10}+1}{n^{10}+1}\cdot\frac{1}{n+1}.
Para ver o comportamento, divida numerador e denominador da fração pelo termo dominante n^{10}:
\frac{(n+1)^{10}+1}{n^{10}+1} = \frac{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{10} + \dfrac{1}{n^{10}}}{1+\dfrac{1}{n^{10}}}.
Quando n\to\infty temos \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{10}\to 1 e \dfrac{1}{n^{10}}\to 0, então a fração acima tende a 1. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left(\text{algo que tende a }1\right)\cdot\frac{1}{n+1}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Comentário intuitivo: o fator \dfrac{1}{n+1} domina e força a razão para zero; isso corresponde à ideia geral de que n! (fatorial) cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{10}, então os termos caem muito rápido.

Passo 6

Aplicando o critério do teste da razão: como \;L=0<1\;, concluímos que a série converge absolutamente. Para séries de termos positivos, convergência absoluta é o mesmo que convergência.

Resposta

Convergente (convergência absoluta)

Exercícios relacionados