Quando n\to\infty temos \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{10}\to 1 e \dfrac{1}{n^{10}}\to 0, então a fração acima tende a 1. Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left(\text{algo que tende a }1\right)\cdot\frac{1}{n+1}= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0.
Comentário intuitivo: o fator \dfrac{1}{n+1} domina e força a razão para zero; isso corresponde à ideia geral de que n! (fatorial) cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^{10}, então os termos caem muito rápido.
Passo 6
Aplicando o critério do teste da razão: como \;L=0<1\;, concluímos que a série converge absolutamente. Para séries de termos positivos, convergência absoluta é o mesmo que convergência.