Use o Teste da Raiz para determinar quais das séries convergem e quais divergem:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{n}}{(\ln n)^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{n}}{(\ln n)^{n}}
usando o Teste da Raiz. Nesse teste, calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}
onde a_n = \frac{n^{n}}{(\ln n)^{n}}. Se L<1, a série converge; se L>1, diverge; se L=1, é inconclusivo.

Passo 2

Calculamos a n-ésima raiz de a_n:
\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{(\ln n)^{n}}} = \frac{\sqrt[n]{n^{n}}}{\sqrt[n]{(\ln n)^{n}}} = \frac{n}{\ln n}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln n}.
Como o numerador cresce muito mais rápido que o denominador logarítmico, temos
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\ln n} = +\infty.
Portanto L>1.

Resposta

A série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{n}}{(\ln n)^{n}}
diverge pelo Teste da Raiz.

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