Determine quais das séries geométricas convergem. Em caso de convergência, encontre a soma:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2^{n+1}}{5^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{5^n}
que é uma série geométrica. Vamos usar o critério de convergência |r|<1 e, em caso de convergência, aplicar a fórmula da soma
S=\frac{a}{1-r}.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para identificarmos a e r:
\frac{2^{n+1}}{5^n} =2\cdot\frac{2^n}{5^n} =2\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^n.

Passo 3

Da forma acima, a série torna-se
\sum_{n=0}^{\infty}2\Bigl(\frac{2}{5}\Bigr)^n,
ou seja, com primeiro termo a=2 e razão r=\tfrac{2}{5}. Como
|r|=\frac{2}{5}<1,
concluímos que a série converge.

Passo 4

Para séries geométricas convergentes vale
S=\frac{a}{1-r}.
Substituindo a=2 e r=\tfrac{2}{5}, obtemos
S=\frac{2}{1-\tfrac{2}{5}} =\frac{2}{\tfrac{3}{5}} =\frac{10}{3}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{10}{3}.

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