Use o Teste da Raiz para determinar quais das séries convergem e quais divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teste da Raiz à série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\Bigr)^{n}
Logo, vamos identificar o termo geral a_{n}=\bigl(\tfrac{1}{n}-\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)^{n} e calcular
L = \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert}.

Passo 2

Escrevendo explicitamente o termo geral,
a_{n} = \Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\Bigr)^{n},
e como ele é positivo para todo n, temos
\sqrt[n]{\lvert a_{n}\rvert} =\sqrt[n]{\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\Bigr)^{n}} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\Bigr).
Como \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty, segue que
L = 0.

Passo 4

Pelo Teste da Raiz, se L<1 então a série converge absolutamente. Aqui obtivemos L=0<1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}\Bigr)^{n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge (converge absolutamente, pois L=0<1 pelo Teste da Raiz).

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