Determine uma função f tal que
f^prime(x)=3 x-1 e f(0)=-2,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função f cuja derivada seja f′(x)=3x−1 e que satisfaça a condição inicial f(0)=−2. O conteúdo aqui é integração (antiderivada) de uma função polinomial e depois usar a condição inicial para determinar a constante.

Passo 2

Para obter f(x), fazemos a antiderivada de f′(x). Sabemos que a integral de xⁿ é xⁿ⁺¹/(n+1). Então:
integral (3x - 1),dx = 3 integral x,dx - integral 1,dx = 3 cdot x^22 - x + C = 32x^2 - x + C

Passo 3

Agora usamos a condição inicial f(0)=−2. Substituindo x=0 em f(x):
f(0) = 32cdot 0^2 - 0 + C = C
Como f(0) deve ser −2, temos C=−2.

Passo 4

Portanto, a função procurada é:
f(x) = 32x^2 - x - 2

Resposta

f(x)=\frac{3}{2}x^2 - x - 2

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