Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{\mathrm{n}=1}^{+\infty} \frac{2^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}}
usando o teste da razão. Esse teste consiste em calcular o limite da razão entre termos consecutivos e comparar esse valor com 1.

Passo 2

Definimos a_{n} = \frac{2^{n}}{n^{2}}. Então a razão entre termos consecutivos é
R_{n} = \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\tfrac{2^{n+1}}{(n+1)^{2}}}{\tfrac{2^{n}}{n^{2}}} = 2 \cdot \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}} = 2 \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite de R_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}R_{n} = 2 \,\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{2} = 2 \cdot 1 = 2.

Passo 4

Como o valor do limite L = 2 é maior que 1, o teste da razão nos diz que a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n^{2}} diverge.

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