Use o teste da razão para determinar a convergência da série.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{3^{n}}

Passo 1

O problema pede para investigar a convergência de
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{3^n}
usando o teste da razão. No teste da razão, definimos a_n como o enésimo termo da série e avaliamos o limite de \frac{a_{n+1}}{a_n}.

Passo 2

Temos
a_n = \frac{n!}{3^n}.
Logo, a razão entre termos consecutivos é
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{3^{n+1}}}{\frac{n!}{3^n}} = \frac{n+1}{3}.

Passo 3

Analisando o limite
\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{3} = +\infty.
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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