Use o Teste da Razão para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n-1 n^44^n

Passo 1

O enunciado apresenta a série
sumn=1^infty(-1)^n-1n^44^n
e pede para usar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para anneq0, se
L=limntoinfty|an+1an|
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge); se L>1, diverge; e se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
an = (-1)^n-1n^44^n
Calculamos a razão dos módulos:
|an+1an| = (n+1)^44^n+1n^44^n = (n+1)^4n^4,4^n4^n+1 = (n+1)^44,n^4

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty(n+1)^44,n^4 = 14<1

Passo 4

Como o limite L=tfrac14 é menor que 1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série converge (na verdade, converge absolutamente) pelo Teste da Razão.

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