Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que
R.:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz. Também foi lembrado que
Informações relevantes que já temos:
- Os termos da série são positivos:
para todo . - Podemos aplicar o teste da raiz (ou da razão); escolheremos o teste da raiz porque aqui o
-ésimo radical simplifica de forma imediata com a potência .
Passo 2
Vou explicar o teste da raiz de forma clara e prática.
Enunciado do teste da raiz (forma usada aqui). Para uma série
com
definimos
As consequências são:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição curta e amiga:
mede a “taxa exponencial” de crescimento de
. Se essa taxa é menor que
, os termos caem exponencialmente e a soma converge; se for maior que
, os termos crescem (ou não diminuem suficientemente) e a soma diverge.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tome
. Então o
-ésimo radical é
Pelo dado do enunciado temos
Portanto
.
Passo 4
Interpretação e conclusão pelo teste da raiz: como
, o caso
do teste da raiz se aplica, logo a série diverge. Em palavras: os termos da série têm taxa exponencial de crescimento equivalente a
(ver passo seguinte), portanto a soma não pode convergir.
Passo 5
Complemento (intuição extra, opcional): usando a expansão do log para ver que os termos não tendem a zero,
Então
mostrando que
(portanto nem sequer
). Isso também garante a divergência da série pelo teste da divergência (termos não vão a zero).
Resposta
A série diverge.