Use o teste da razão ou da raiz para analisar a convergência das séries abaixo
Lembre-se de que \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} R.:

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}
e pede para analisar a convergência usando o teste da razão ou o teste da raiz. Também foi lembrado que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Informações relevantes que já temos:
  • Os termos da série são positivos: a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^{2}}>0 para todo n.
  • Podemos aplicar o teste da raiz (ou da razão); escolheremos o teste da raiz porque aqui o n-ésimo radical simplifica de forma imediata com a potência n^{2}.

Passo 2

Vou explicar o teste da raiz de forma clara e prática.
Enunciado do teste da raiz (forma usada aqui). Para uma série \sum a_n com a_n\ge0 definimos
L=\limsup_{n\to\infty} a_n^{1/n}.
As consequências são:
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Intuição curta e amiga: a_n^{1/n} mede a “taxa exponencial” de crescimento de a_n. Se essa taxa é menor que 1, os termos caem exponencialmente e a soma converge; se for maior que 1, os termos crescem (ou não diminuem suficientemente) e a soma diverge.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz à nossa série. Tome a_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n^{2}}. Então o n-ésimo radical é
a_n^{1/n}=\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}\right]^{1/n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Pelo dado do enunciado temos
\lim_{n\to\infty}a_n^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Portanto L=e.

Passo 4

Interpretação e conclusão pelo teste da raiz: como e>1, o caso L>1 do teste da raiz se aplica, logo a série diverge. Em palavras: os termos da série têm taxa exponencial de crescimento equivalente a e^{n} (ver passo seguinte), portanto a soma não pode convergir.

Passo 5

Complemento (intuição extra, opcional): usando a expansão do log para ver que os termos não tendem a zero,
\ln a_n=n^{2}\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=n^{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+O\!\left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)=n-\frac{1}{2}+O\!\left(\frac{1}{n}\right).
Então
a_n=\exp(\ln a_n)\sim e^{n-\tfrac{1}{2}}=e^{-\tfrac{1}{2}}\,e^{n},
mostrando que a_n\to\infty (portanto nem sequer a_n\to0). Isso também garante a divergência da série pelo teste da divergência (termos não vão a zero).

Resposta

A série diverge.

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