Verifique que, para todo a>0, temos que lim n infty raiz[n]n^a=1. (baseie-se num exemplo discutido em sala de aula, considerando a função ln)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que, para todo a>0, vale limntoinfty raiz[n]n^a = 1. O conteúdo aqui é limite de sequência usando a função ln para transformar raízes.

Passo 2

Definindo a sequência xn = raiz[n]n^a. Aplico o logaritmo natural pra tirar a raiz:
ln(xn) = lnl(n^ar);/;n = a;ln(n)n

Passo 3

Agora, preciso verificar que ln(n)/nto 0 quando ntoinfty. Usando a regra de L’Hôpital no limite contínuo
limxtoinfty ln(x)x = limxtoinfty 1/x1 = 0,
portanto ln(n)/nto 0.

Passo 4

Como ln(xn) = a,ln(n)n e a>0, concluímos que ln(xn)to 0. Então
xn = e^ln(xn) to e^0 = 1

Resposta

1

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