Obtenha:
A área da região delimitada pelas curvas
e
;
A área da região delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que é delimitada pelas curvas $ y = \cos x $ e $ y = \cos^2 x $ no intervalo de $ \bar{v} $ até $ u $. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especialmente a área entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar onde as duas curvas se encontram (os pontos de interseção) e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando $ \cos x = \cos^2 x $. Para resolver essa equação, podemos rearranjar os termos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar a equação:
Isso nos dá duas soluções possíveis:
- $ \cos x = 0 $
- $ 1 - \cos x = 0 $ ou seja, $ \cos x = 1 $
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os valores de $ x $:
- $ \cos x = 0 $ ocorre quando $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ onde $ k $ é um inteiro.
- $ \cos x = 1 $ ocorre quando $ x = 2k\pi $ onde $ k $ é um inteiro.
Assumindo que estamos trabalhando no intervalo principal, os pontos de interseção mais próximos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Agora que temos os limites de integração ($ v = 0 $ e $ u = \frac{\pi}{2} $), vamos determinar qual das duas funções está maior nesse intervalo. Sabemos que $ \cos x $ diminui de 1 a 0 quando $ x $ vai de 0 a $ \frac{\pi}{2} $, enquanto $ \cos^2 x $ começa em 1 e também diminui, mas de forma quadrática.
Podemos testar com um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = \frac{\pi}{4} $:
Então, $ \cos x $ está acima de $ \cos^2 x $ nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre as duas funções no intervalo de $ v $ a $ u $:
Substituindo $ v = 0 $ e $ u = \frac{\pi}{2} $:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos $ \cos x $:
Em seguida, integramos $ \cos^2 x $. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Agora, juntando tudo:
Resposta
Calculando nos limites $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = 0 $:
Então,
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é: