Obtenha:
A área da região delimitada pelas curvas y=cos x e y=cos ^2 x, barv <= x <= u;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que é delimitada pelas curvas $ y = \cos x $ e $ y = \cos^2 x $ no intervalo de $ \bar{v} $ até $ u $. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especialmente a área entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar onde as duas curvas se encontram (os pontos de interseção) e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se cruzam. Isso acontece quando $ \cos x = \cos^2 x $. Para resolver essa equação, podemos rearranjar os termos:
cos x = cos^2 x

Passo 3

Agora, vamos fatorar a equação:
cos x (1 - cos x) = 0
Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. $ \cos x = 0 $
  2. $ 1 - \cos x = 0 $ ou seja, $ \cos x = 1 $

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar os valores de $ x $:
  1. $ \cos x = 0 $ ocorre quando $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ onde $ k $ é um inteiro.
  2. $ \cos x = 1 $ ocorre quando $ x = 2k\pi $ onde $ k $ é um inteiro.
Assumindo que estamos trabalhando no intervalo principal, os pontos de interseção mais próximos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

Agora que temos os limites de integração ($ v = 0 $ e $ u = \frac{\pi}{2} $), vamos determinar qual das duas funções está maior nesse intervalo. Sabemos que $ \cos x $ diminui de 1 a 0 quando $ x $ vai de 0 a $ \frac{\pi}{2} $, enquanto $ \cos^2 x $ começa em 1 e também diminui, mas de forma quadrática.
Podemos testar com um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = \frac{\pi}{4} $:
v = 0
u = pi2
Então, $ \cos x $ está acima de $ \cos^2 x $ nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre as duas funções no intervalo de $ v $ a $ u $:
v Á
Substituindo $ v = 0 $ e $ u = \frac{\pi}{2} $:
u Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos $ \cos x $:
cos x
Em seguida, integramos $ \cos^2 x $. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
integral cos x , dx = sin x
Então,
cos^2 x
Agora, juntando tudo:
cos^2 x = 1 + cos 2x2 Á

Resposta

Calculando nos limites $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $:
Para $ x = \frac{\pi}{2} $:
0
pi2
x = pi2
Para $ x = 0 $:
sin(pi2) = 1
12(pi2) = pi4
14sin(pi) = 0
Então,
x = 0 Á
Portanto, a área da região delimitada pelas curvas é:
sin(0) = 0

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