Transforme os decimais em frações (irredutíveis). Em seguida, faça o que se pede.
a) 2,5 e
b) 1,02 e
c) 3,74 e
d)
e 6
e) O que você observou nas frações dos itens anteriores?
f) Prove que todo decimal finito admite duas representações decimais distintas.
a) 2,5 e
b) 1,02 e
c) 3,74 e
d)
e) O que você observou nas frações dos itens anteriores?
f) Prove que todo decimal finito admite duas representações decimais distintas.
Passo 1
O enunciado pede para transformar certos números decimais em frações irredutíveis e observar que o mesmo número pode aparecer com duas representações decimais distintas (uma finita e outra acabando em infinitos 9s) e, por fim, provar esse fato em geral.
Passo 2
No item (a) temos 2,5 e 2,4999… Primeiro convertendo o decimal finito:
Para 2,5:
Para 2,4999… note que basta mostrar que 0,4999…=0,5. Seja
. Então:
Logo 2,4999…=2+0,5=2,5=
.
Passo 3
No item (b) temos 1,02 e 1,01\overline{9}. Primeiro o finito:
Para 1,01\overline{9}, escreva 1,01 + 0,00\overline{9}. Mas sabemos que 0,00\overline{9}=0,01 (usando o mesmo truque do item anterior). Logo 1,01\overline{9}=1,01+0,01=1,02=
.
Passo 4
No item © temos 3,74 e 3,73999… Primeiro:
Para 3,73999…, note que 0,73999…=0,74 pelo mesmo argumento de que 0,009999…=0,01. Então 3,73999…=3,74=
.
Passo 5
No item (d) temos 5,\overline{9} e 6. Mas o clássico resultado é:
Basta notar que 5,\overline{9}=5+0,\overline{9}=5+1=6.
Passo 6
Em todos os itens vimos que o decimal finito e o decimal que termina em infinitos 9s se transformam na mesma fração irredutível. Ou seja, cada decimal finito admite também uma representação que acaba em infinitos 9s, e essas duas representações têm o mesmo valor.
Passo 7
Para provar em geral, seja um decimal finito de n casas depois da vírgula:
Agora considere a outra representação em que o último dígito
é reduzido em 1 e vem seguido de infinitos 9s:
Observe que a parte recorrente corresponde à uma soma geométrica que se anula justamente para fechar o “buraco” de 1 unidade da casa
. Fazendo conta, conclui-se que
. Portanto, todo decimal finito tem duas representações numéricas distintas, mas com o mesmo valor.
Passo 8
Resposta
a) 2,5=\frac{5}{2} e 2,4999…=\frac{5}{2}
b) 1,02=\frac{51}{50} e 1,01\overline{9}=\frac{51}{50}
c) 3,74=\frac{187}{50} e 3,73999…=\frac{187}{50}
d) 5,\overline{9}=6 e 6
b) 1,02=\frac{51}{50} e 1,01\overline{9}=\frac{51}{50}
c) 3,74=\frac{187}{50} e 3,73999…=\frac{187}{50}
d) 5,\overline{9}=6 e 6
e) Em todos os casos as duas representações levam à mesma fração irredutível.
f) Mostramos em geral que se um decimal finito vale , então a forma em que o último dígito é reduzido em 1 seguido de infinitos 9s também soma exatamente
, garantindo a dupla representação.
f) Mostramos em geral que se um decimal finito vale