Transforme os decimais em frações (irredutíveis). Em seguida, faça o que se pede.
a) 2,5 e 2,4999 ldots
b) 1,02 e 1,01 9
c) 3,74 e 3,73999 ldots
d) 5, 9 e 6
e) O que você observou nas frações dos itens anteriores?
f) Prove que todo decimal finito admite duas representações decimais distintas.

Passo 1

O enunciado pede para transformar certos números decimais em frações irredutíveis e observar que o mesmo número pode aparecer com duas representações decimais distintas (uma finita e outra acabando em infinitos 9s) e, por fim, provar esse fato em geral.

Passo 2

No item (a) temos 2,5 e 2,4999… Primeiro convertendo o decimal finito:
Para 2,5:
2,5=2510=52
Para 2,4999… note que basta mostrar que 0,4999…=0,5. Seja y=0,4999. Então:
10y-y=4,999-0,4999=4,5implies 9y=4,5implies y=0,5
Logo 2,4999…=2+0,5=2,5= 52.

Passo 3

No item (b) temos 1,02 e 1,01\overline{9}. Primeiro o finito:
1,02=102100=5150
Para 1,01\overline{9}, escreva 1,01 + 0,00\overline{9}. Mas sabemos que 0,00\overline{9}=0,01 (usando o mesmo truque do item anterior). Logo 1,01\overline{9}=1,01+0,01=1,02= 5150.

Passo 4

No item © temos 3,74 e 3,73999… Primeiro:
3,74=374100=18750
Para 3,73999…, note que 0,73999…=0,74 pelo mesmo argumento de que 0,009999…=0,01. Então 3,73999…=3,74= 18750.

Passo 5

No item (d) temos 5,\overline{9} e 6. Mas o clássico resultado é:
5,9=6
Basta notar que 5,\overline{9}=5+0,\overline{9}=5+1=6.

Passo 6

Em todos os itens vimos que o decimal finito e o decimal que termina em infinitos 9s se transformam na mesma fração irredutível. Ou seja, cada decimal finito admite também uma representação que acaba em infinitos 9s, e essas duas representações têm o mesmo valor.

Passo 7

Para provar em geral, seja um decimal finito de n casas depois da vírgula:
x=d0d1d2dots dn=N10^ncom N=d0,10^n+d1,10^n-1+cdots+dn
Agora considere a outra representação em que o último dígito dn é reduzido em 1 e vem seguido de infinitos 9s:
y=d0d1dots (dn-1)9
Observe que a parte recorrente corresponde à uma soma geométrica que se anula justamente para fechar o “buraco” de 1 unidade da casa 10^-n. Fazendo conta, conclui-se que y=N10^n=x. Portanto, todo decimal finito tem duas representações numéricas distintas, mas com o mesmo valor.

Passo 8

Resposta

a) 2,5=\frac{5}{2} e 2,4999…=\frac{5}{2}
b) 1,02=\frac{51}{50} e 1,01\overline{9}=\frac{51}{50}
c) 3,74=\frac{187}{50} e 3,73999…=\frac{187}{50}
d) 5,\overline{9}=6 e 6
e) Em todos os casos as duas representações levam à mesma fração irredutível.
f) Mostramos em geral que se um decimal finito vale N/10^n, então a forma em que o último dígito é reduzido em 1 seguido de infinitos 9s também soma exatamente N/10^n, garantindo a dupla representação.

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