Use o teste do termo de ordem
para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa usar o teste do termo de ordem
para descobrir se a série
diverge ou se precisa investigar mais a fundo. Esse teste faz parte do estudo de séries infinitas em Cálculo, e vamos precisar entender um pouquinho sobre limites para aplicar ele direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste do termo de ordem
. Esse teste diz que:
Se o limite do termo geral da série, quandotende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Se for zero, o teste não nos dá uma resposta, e precisamos usar outro método para investigar.
Então, nosso objetivo aqui é calcular o limite de
quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Quando
cresce,
, que é a base do número de Euler elevada a
, cresce muito rapidamente, ficando cada vez maior.
Passo 4
Então, à medida que
tende para o infinito,
se torna muito grande, e
também se torna muito grande, mas praticamente igual a
, já que o “+1” é insignificante comparado a
.
Portanto:
Passo 5
Agora que calculamos o limite e vimos que ele é igual a zero:
Segundo o teste do termo de ordem
, se o limite for zero, não podemos concluir nada sobre a convergência ou divergência da série. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso, e precisamos investigar mais a fundo usando outro método.
Resposta
Aplicando o teste do termo de ordem
, o limite do termo geral é zero. Portanto, o teste é inconclusivo e é necessária uma investigação adicional para determinar a convergência ou divergência da série.