Use o teste do termo de ordem n para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
sumn=1^infty 1e^n+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa usar o teste do termo de ordem n para descobrir se a série sumn=1^infty 1e^n+1 diverge ou se precisa investigar mais a fundo. Esse teste faz parte do estudo de séries infinitas em Cálculo, e vamos precisar entender um pouquinho sobre limites para aplicar ele direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste do termo de ordem n. Esse teste diz que:
Se o limite do termo geral da série, quando n tende ao infinito, não for zero, então a série diverge. Se for zero, o teste não nos dá uma resposta, e precisamos usar outro método para investigar.
Então, nosso objetivo aqui é calcular o limite de 1e^n+1 quando n vai para o infinito.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limn to infty 1e^n + 1
Quando n cresce, e^n, que é a base do número de Euler elevada a n, cresce muito rapidamente, ficando cada vez maior.

Passo 4

Então, à medida que n tende para o infinito, e^n se torna muito grande, e e^n + 1 também se torna muito grande, mas praticamente igual a e^n, já que o “+1” é insignificante comparado a e^n.
Portanto:
limn to infty 1e^n + 1 = limn to infty 1e^n = 0

Passo 5

Agora que calculamos o limite e vimos que ele é igual a zero:
limn to infty 1e^n + 1 = 0
Segundo o teste do termo de ordem n, se o limite for zero, não podemos concluir nada sobre a convergência ou divergência da série. Ou seja, o teste é inconclusivo nesse caso, e precisamos investigar mais a fundo usando outro método.

Resposta

Aplicando o teste do termo de ordem n, o limite do termo geral é zero. Portanto, o teste é inconclusivo e é necessária uma investigação adicional para determinar a convergência ou divergência da série.

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