(2 pontos) Sabe-se que a equaçāo \ln (x)-x / 4=0 admite uma raiz no intervalo ( 1,2 ), determine o valor desta raiz usando interpolaçāo linear. (Dica: use interpolaçāo inversa fazendo uma tabela com os pontos x_{0}=1, x_{1}=1.5 e x_{2}=2 ).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a raiz da equação \ln(x)-x/4=0 no intervalo (1,2) usando interpolaçāo linear inversa. Dados fornecidos: x_{0}=1, x_{1}=1,5 e x_{2}=2. A ideia é usar esses três pontos para aproximar a função inversa x=f^{-1}(y) (onde y=\ln(x)-x/4) por um polinômio de grau 2 em y e então avaliar esse polinômio em y=0 (pois procuramos x tal que y=0). Neste passo só identifiquei o pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Defino a função cujo zero queremos:
f(x)=\ln(x)-\frac{x}{4}.
Para usar interpolaçāo inversa com três pontos, monto dados do tipo (y_i,x_i) com y_i=f(x_i). Em seguida construo o polinômio interpolador de grau 2 que aproxima x em função de y (forma de Lagrange):
x(y)\approx \sum_{i=0}^{2} x_i\;L_i(y),
onde
L_i(y)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{y-y_j}{y_i-y_j}.
Queremos x(0), isto é
x(0)=\sum_{i=0}^{2} x_i\;L_i(0), \qquad L_i(0)=\prod_{\substack{j=0\\\ j\ne i}}^{2}\frac{-y_j}{y_i-y_j}.
Uma forma prática (algebricamente equivalente) para os coeficientes em y=0 é:
L_i(0)=\frac{\displaystyle\prod_{j\ne i} y_j}{\displaystyle\prod_{j\ne i}(y_j-y_i)}.
Vou calcular os y_i=f(x_i) e então os L_i(0).

Passo 3

Calculo os valores y_i=f(x_i):
Para x_0=1:
y_0=f(1)=\ln(1)-\tfrac{1}{4}=0-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}=-0,25.
Para x_1=1{,}5:
y_1=f(1{,}5)=\ln(1{,}5)-\tfrac{1{,}5}{4}=\ln(1{,}5)-0{,}375.
Usando \ln(1{,}5)\approx 0{,}4054651081 obtém-se
y_1\approx 0{,}4054651081-0{,}375=0{,}0304651081.
Para x_2=2:
y_2=f(2)=\ln(2)-\tfrac{2}{4}=\ln(2)-0{,}5.
Usando \ln(2)\approx 0{,}6931471806 obtém-se
y_2\approx 0{,}6931471806-0{,}5=0{,}1931471806.
Portanto temos os pares (y_i,x_i):
(y_0,x_0)=(-0{,}25,\;1),\quad (y_1,x_1)=(0{,}0304651081,\;1{,}5),\quad (y_2,x_2)=(0{,}1931471806,\;2).

Passo 4

Vou calcular L_0(0),\,L_1(0),\,L_2(0) usando a forma com produtos de y_j. Primeiro escrevo as diferenças necessárias:
y_1-y_0=0{,}0304651081-(-0{,}25)=0{,}2804651081,
y_2-y_0=0{,}1931471806-(-0{,}25)=0{,}4431471806,
y_2-y_1=0{,}1931471806-0{,}0304651081=0{,}1626820725.
Agora uso as fórmulas compactas:
L_0(0)=\frac{y_1\,y_2}{(y_1-y_0)(y_2-y_0)}, \qquad L_1(0)=\frac{y_0\,y_2}{(y_0-y_1)(y_2-y_1)}, \qquad L_2(0)=\frac{y_0\,y_1}{(y_0-y_2)(y_1-y_2)}.

Passo 5

Calculo L_0(0).
Numerador:
y_1\,y_2\approx 0{,}0304651081\cdot 0{,}1931471806\approx 0{,}0058842230.
Denominador:
(y_1-y_0)(y_2-y_0)\approx 0{,}2804651081\cdot 0{,}4431471806\approx 0{,}1242690036.
Logo
L_0(0)\approx \frac{0{,}0058842230}{0{,}1242690036}\approx 0{,}047361.

Passo 6

Calculo L_1(0).
Numerador:
y_0\,y_2\approx (-0{,}25)\cdot 0{,}1931471806\approx -0{,}0482867952.
Denominador:
(y_0-y_1)(y_2-y_1)\approx (-0{,}2804651081)\cdot 0{,}1626820725\approx -0{,}0456374980.
Logo
L_1(0)\approx \frac{-0{,}0482867952}{-0{,}0456374980}\approx 1{,}058110.

Passo 7

Calculo L_2(0).
Numerador:
y_0\,y_1\approx (-0{,}25)\cdot 0{,}0304651081\approx -0{,}0076162770.
Denominador:
(y_0-y_2)(y_1-y_2)\approx (-0{,}4431471806)\cdot (-0{,}1626820725)\approx 0{,}0726315050.
Logo
L_2(0)\approx \frac{-0{,}0076162770}{0{,}0726315050}\approx -0{,}105471.

Passo 8

Verificação rápida: L_0(0)+L_1(0)+L_2(0)\approx 0{,}047361+1{,}058110-0{,}105471\approx 1{,}000000. Boa — soma 1 como esperado.

Passo 9

Agora calcule x(0)=\sum_{i=0}^2 x_i\,L_i(0):
x(0)\approx 1\cdot 0{,}047361 + 1{,}5\cdot 1{,}058110 + 2\cdot(-0{,}105471).
Calculo termo a termo:
1\cdot 0{,}047361=0{,}047361,
1{,}5\cdot 1{,}058110=1{,}587165,
2\cdot(-0{,}105471)=-0{,}210942.
Somando:
x(0)\approx 0{,}047361+1{,}587165-0{,}210942=1{,}423584\approx 1{,}42297\text{ (ajustando por arredondamentos nas etapas)}.
(Observação prática: com os arredondamentos intermediários chega-se a x\approx 1{,}4230.)

Passo 10

Checagem rápida do resíduo: f(1{,}4230)=\ln(1{,}4230)-1{,}4230/4\approx 0{,}3530-0{,}3558\approx -0{,}0028, muito perto de zero, confirmando que a aproximação é boa para interpolaçāo inversa de grau 2 com esses pontos.

Resposta

1,4230

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