(2 pontos) Sabe-se que a equaçāo
admite uma raiz no intervalo ( 1,2 ), determine o valor desta raiz usando interpolaçāo linear. (Dica: use interpolaçāo inversa fazendo uma tabela com os pontos
e
).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a raiz da equação
no intervalo
usando interpolaçāo linear inversa. Dados fornecidos:
,
e
. A ideia é usar esses três pontos para aproximar a função inversa
(onde
) por um polinômio de grau 2 em
e então avaliar esse polinômio em
(pois procuramos
tal que
). Neste passo só identifiquei o pedido e os dados; a resolução começa no passo seguinte.
Passo 2
Defino a função cujo zero queremos:
Para usar interpolaçāo inversa com três pontos, monto dados do tipo
com
. Em seguida construo o polinômio interpolador de grau 2 que aproxima
em função de
(forma de Lagrange):
onde
Queremos
, isto é
Uma forma prática (algebricamente equivalente) para os coeficientes em
é:
Vou calcular os
e então os
.
Passo 3
Calculo os valores
:
Para
:
Para
:
Usando
obtém-se
Para
:
Usando
obtém-se
Portanto temos os pares
:
Passo 4
Vou calcular
usando a forma com produtos de
. Primeiro escrevo as diferenças necessárias:
Agora uso as fórmulas compactas:
Passo 5
Calculo
.
Numerador:
Denominador:
Logo
Passo 6
Calculo
.
Numerador:
Denominador:
Logo
Passo 7
Calculo
.
Numerador:
Denominador:
Logo
Passo 8
Verificação rápida:
. Boa — soma 1 como esperado.
Passo 9
Agora calcule
:
Calculo termo a termo:
Somando:
(Observação prática: com os arredondamentos intermediários chega-se a
.)
Passo 10
Checagem rápida do resíduo:
, muito perto de zero, confirmando que a aproximação é boa para interpolaçāo inversa de grau 2 com esses pontos.