Use os testes de comparação para determinar se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty(1+1n)^2 e^-n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^inftyl(1+1nr)^2e^-n
usando testes de comparação. O conteúdo aqui é séries de termos positivos e vamos compará-la a uma série geométrica, que sabemos convergir se a razão for menor que 1.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1,
1+1n<= 1+1=2
logo
l(1+1nr)^2<= 2^2=4

Passo 3

Isto permite comparar cada termo da série original com termos da forma 4e^-n. De fato,
l(1+1nr)^2e^-n;<=;4,e^-n
A série sumn=1^infty4,e^-n é geométrica de razão
r = e^-1<1,
portanto converge.

Passo 4

Pelo teste de comparação direta, como 0<=(1+tfrac1n)^2e^-n<=4e^-n e sum4e^-n converge, concluímos que
sumn=1^inftyl(1+1nr)^2e^-n
também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados