Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos:
Passo 1
Estamos analisando a série . O conteúdo é convergência de séries numéricas pelo teste da razão e da raiz; vamos ver primeiro por que o teste da razão não nos ajuda e depois aplicar o teste da raiz para chegar à conclusão.
Passo 2
O teste da razão exige calcular , onde . Temos
Passo 3
Quando mtoinfty, ambos sin(1/raizm+1)to0 e sin(1/raizm+1)/sin(1/raizm)to1. Isso faz com que o limite do quociente seja 1, deixando o teste da razão inconclusivo.
Visto que L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, em consequência, converge. Concluímos que a série summ=1^infty sin^ml(1/raizmr) converge.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da raiz-enésima do termo geral é zero, menor que 1).