Use os testes da razão ou da raiz para determinar se a série converge ou diverge, ou justifique porque os testes são falhos:
summ=1^infty sin ^m(1raizm)

Passo 1

Estamos analisando a série summ=1^infty sin^ml(1/raizmr). O conteúdo é convergência de séries numéricas pelo teste da razão e da raiz; vamos ver primeiro por que o teste da razão não nos ajuda e depois aplicar o teste da raiz para chegar à conclusão.

Passo 2

O teste da razão exige calcular limmtoinfty |am+1/am|, onde am=sin^ml(1/raizmr). Temos
|am+1am| =sin^m+1l(1/raizm+1r)sin^ml(1/raizmr) =sinl(1/raizm+1r),l(sin(1/raizm+1)sin(1/raizm)r)^m

Passo 3

Quando mtoinfty, ambos sin(1/raizm+1)to0 e sin(1/raizm+1)/sin(1/raizm)to1. Isso faz com que o limite do quociente seja 1, deixando o teste da razão inconclusivo.

Passo 4

O teste da raiz diz para calcular
L=limsupmtoinftyraiz[m]|am| =limmtoinftysinl(1/raizmr)

Passo 5

Como para x pequeno vale sin(x)<= x, temos
0<=raiz[m]|am|=sinl(1/raizmr)<=1raizm,

Passo 6

e portanto
L=limmtoinftysinl(1/raizmr)=0

Passo 7

Visto que L=0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, em consequência, converge. Concluímos que a série summ=1^infty sin^ml(1/raizmr) converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, pois o limite da raiz-enésima do termo geral é zero, menor que 1).

Exercícios relacionados